En la PAU aparece a menudo una función definida a trozos con uno o dos parámetros, y se pide hallarlos para que sea continua y derivable. Para ello necesitas dominar los límites, las asíntotas y las derivadas laterales. Esta lección repasa lo de 1.º y lo lleva al nivel del examen.
Objetivos
- Calcular límites y resolver indeterminaciones
- Determinar las asíntotas de una función racional
- Estudiar la continuidad de funciones a trozos con parámetros
- Estudiar la derivabilidad mediante las derivadas laterales
- Derivar con soltura funciones compuestas, productos y cocientes
1. Límites y asíntotas
| Indeterminación | Técnica habitual |
|---|---|
| (racional) | Factorizar y simplificar |
| Comparar grados (o dividir por la mayor potencia) | |
| ∞ − ∞ con raíces | Multiplicar por el conjugado |
| ∞ − ∞ con fracciones | Hacer la resta (común denominador) |
limx→2
- : factorizamos =
- Límite: = 2
- Asíntota vertical x = a: limx→a f(x) = ±∞.
- Asíntota horizontal y = L: limx→±∞ f(x) = L.
- Asíntota oblicua y = mx + n: m = lim , n = lim (f(x) − mx). En racionales, es el cociente de la división.
2. Continuidad de funciones a trozos
f es continua en a si limx→a⁻ f(x) = limx→a⁺ f(x) = f(a). Cada trozo polinómico, exponencial o racional (en su dominio) es continuo, así que solo hay que estudiar los puntos de unión y los ceros de denominadores.
f(x) = 2x + a si x < 2 ; f(x) = x² + 1 si x ≥ 2
- Límite por la izquierda: 4 + a
- Límite por la derecha y f(2): 5
- Continua si 4 + a = 5 ⟹ a = 1
3. Derivabilidad
Función derivable en a: Existe f'(a), es decir, las derivadas laterales f'(a⁻) y f'(a⁺) existen y coinciden. Geométricamente, la gráfica tiene una tangente no vertical, sin «picos».
Hallar a y b para que f(x) = x² + a si x ≤ 1, f(x) = bx + 3 si x > 1 sea derivable
- Continuidad en 1: 1 + a = b + 3
- Derivadas laterales: f'(1⁻) = 2 · 1 = 2 ; f'(1⁺) = b
- Derivable: b = 2, y entonces 1 + a = 5 ⟹ a = 4
4. Reglas de derivación
| Función | Derivada |
|---|---|
| uⁿ | n · uⁿ⁻¹ · u' |
| eu | u' · eu |
| ln u | |
| √u | |
| u · v | u'v + uv' |
f(x) = (x² + 1) · eˣ
- f'(x) = 2x · eˣ + (x² + 1) · eˣ = (x² + 2x + 1) eˣ = (x + 1)² eˣ
Recuerda
- : factorizar; : grados; ∞ − ∞: conjugado o restar.
- Continuidad en a: límites laterales iguales a f(a).
- Derivabilidad en a: continua y derivadas laterales iguales.
- Derivable ⟹ continua; el recíproco es falso.
- Dos parámetros: una ecuación de continuidad y otra de derivabilidad.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.