Repartir una producción, ajustar precios o mezclar productos lleva a sistemas de ecuaciones lineales. En 2.º no basta con resolverlos: hay que saber discutirlos, es decir, decidir si tienen una solución, infinitas o ninguna, a menudo según el valor de un parámetro. Es uno de los ejercicios más frecuentes de la PAU.
Objetivos
- Escribir un sistema en forma matricial A · X = B
- Resolver sistemas por el método de Gauss
- Clasificar sistemas con el teorema de Rouché-Frobenius
- Aplicar la regla de Cramer
- Discutir y resolver sistemas que dependen de un parámetro y plantear problemas
1. Forma matricial y método de Gauss
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se escribe A · X = B, donde A es la matriz de coeficientes y A* = (A | B) la matriz ampliada. El método de Gauss escalona A* con operaciones de filas.
x + y + z = 6 ; 2x − y + z = 3 ; x + 2y − z = 2
- F2 → F2 − 2F1: −3y − z = −9
- F3 → F3 − F1: y − 2z = −4
- Con y = 2z − 4 en la segunda: −3(2z − 4) − z = −9 ⟹ −7z = −21 ⟹ z = 3
- y = 2, x = 6 − 2 − 3 = 1
Solución única (1, 2, 3).
2. Teorema de Rouché-Frobenius
| Rangos | Tipo de sistema |
|---|---|
| rg A = rg A* = n (n.º de incógnitas) | Compatible determinado (una solución) |
| rg A = rg A* < n | Compatible indeterminado (n − rg A parámetros) |
| rg A ≠ rg A* | Incompatible (sin solución) |
Un sistema homogéneo (B = 0) siempre es compatible: tiene al menos la solución trivial (0, 0, 0). Tiene otras soluciones solo si |A| = 0.
x = ; y = ; z =
Cramer: 2x + 3y = 8 ; x − y = −1
- |A| = −2 − 3 = −5
- x = = = 1
- y = = = 2
3. Discusión con un parámetro
x + y + z = 2 ; x + 2y + 3z = 5 ; 2x + 3y + az = b
- |A| = |1 1 1 ; 1 2 3 ; 2 3 a| = a − 4
- Si a ≠ 4: rg A = rg A* = 3 ⟹ compatible determinado
- Si a = 4: rg A = 2. Como F3 − F1 − F2 = (0 0 0 | b − 7):
- b = 7 ⟹ rg A* = 2: compatible indeterminado; b ≠ 7 ⟹ rg A* = 3: incompatible
4. Plantear problemas
Se venden 100 entradas (general 10 €, reducida 6 €, infantil 4 €) por 760 €. Las generales son tantas como las otras dos juntas
- x + y + z = 100 ; 10x + 6y + 4z = 760 ; x = y + z
- De la 1.ª y la 3.ª: x = 50 e y + z = 50
- 6y + 4z = 260 ⟹ 6y + 4(50 − y) = 260 ⟹ y = 30, z = 20
50 generales, 30 reducidas y 20 infantiles.
Recuerda
- A · X = B; A* = (A | B).
- Rouché: rg A = rg A* = n, SCD; rg A = rg A* < n, SCI; rg A ≠ rg A*, SI.
- Cramer: x = si |A| ≠ 0.
- Con parámetro: anular |A| y estudiar aparte esos valores.
- Homogéneo: siempre compatible; soluciones no triviales si |A| = 0.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.