La misma fuerza que hace caer una manzana mantiene a la Luna en órbita. Newton la describió con una ley universal y, más tarde, la física la reinterpretó como un campo: cada masa modifica el espacio que la rodea. Este tema abre el bloque de interacción gravitatoria de la PAU.
Objetivos
- Enunciar las tres leyes de Kepler y aplicar la tercera
- Calcular la fuerza gravitatoria entre dos masas con la ley de Newton
- Calcular la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa y su variación con la altura
- Aplicar el principio de superposición a varias masas
1. Las leyes de Kepler
- Primera ley (órbitas): los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.
- Segunda ley (áreas): el radio vector Sol‑planeta barre áreas iguales en tiempos iguales; el planeta va más rápido en el perihelio que en el afelio.
- Tercera ley (periodos): el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor: T² = k · r³, con k igual para todos los planetas del mismo astro central.
La segunda ley es una consecuencia de la conservación del momento angular L = r × m·v: la fuerza gravitatoria es central (dirigida hacia el Sol), su momento es nulo y L permanece constante. Así, rp · vp = ra · va en perihelio y afelio.
Un planeta orbita a una distancia 4 veces mayor que otro. ¿Cuánto mayor es su periodo?
- = = 4³ = 64
- = √64 = 8
El periodo es 8 veces mayor.
2. Ley de gravitación universal
F = G ·
En forma vectorial: F = −G · · ur, donde ur es el vector unitario que va de M hacia m. El signo menos indica atracción. Las fuerzas entre dos masas son iguales y opuestas (tercera ley de Newton).
Fuerza entre dos masas de 1000 kg y 500 kg separadas 2 m
- F = 6,67 · 10−11 ·
- F = 6,67 · 10−11 · 125 000 ≈ 8,34 · 10−6 N
Unos 8,34 µN: la gravedad entre objetos cotidianos es muy débil.
Si un cuerpo describe una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta: G · = m · . Con v = se obtiene la tercera ley de Kepler: T² = · r³.
3. Intensidad del campo gravitatorio
Intensidad del campo gravitatorio (g): Fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en un punto: g = . Se mide en N/kg (equivale a m/s²).
g = G ·
Gravedad en la superficie terrestre
Datos: MT = 5,97 · 1024 kg ; RT = 6,37 · 106 m.
- g₀ = 6,67 · 10−11 ·
- g₀ ≈ 9,81 N/kg
g(h) = g₀ ·
4. Líneas de campo y superposición
Las líneas de campo son radiales y entran en la masa (el campo gravitatorio es siempre atractivo). Son tangentes en cada punto al vector g y su densidad indica la intensidad.
Principio de superposición: El campo creado por varias masas es la suma vectorial de los campos que crea cada una por separado: g = g₁ + g₂ + …
Punto entre la Tierra y la Luna donde el campo total es nulo
MT = 81 · ML ; distancia Tierra‑Luna d = 3,84 · 108 m. Sea x la distancia a la Tierra.
- G · = G ·
- = √81 = 9
- x = 0,9 · d ≈ 3,46 · 108 m de la Tierra
Recuerda
- Kepler: órbitas elípticas, áreas iguales en tiempos iguales (conservación de L), T² proporcional a r³.
- F = G · , con G = 6,67 · 10−11 N·m²/kg², siempre atractiva.
- g = G · , en N/kg; r se mide desde el centro del astro.
- En órbita circular, la gravedad es la fuerza centrípeta: T² = · r³.
- Varias masas: suma vectorial de los campos (superposición).
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.