Un fabricante afirma que sus paquetes pesan 500 g de media. Pesamos una muestra y obtenemos 494 g. ¿Es una diferencia debida al azar o hay motivos para dudar de la afirmación? Un contraste de hipótesis es el procedimiento estadístico para tomar esta decisión con un riesgo de error controlado.
Objetivos
- Plantear la hipótesis nula y la alternativa a partir de un enunciado
- Distinguir contrastes bilaterales y unilaterales
- Calcular el estadístico de contraste para la media y para la proporción
- Decidir con la región crítica y el nivel de significación
- Interpretar los errores de tipo I y de tipo II
1. Hipótesis y nivel de significación
Hipótesis nula H₀ y alternativa H₁: H₀ es la afirmación que se pone a prueba y contiene siempre la igualdad (μ = μ₀, μ ≥ μ₀ o μ ≤ μ₀). H₁ es su contraria. Solo se rechaza H₀ si los datos son muy improbables suponiendo que es cierta.
| Hipótesis | Tipo de contraste | Región crítica (α = 0,05) |
|---|---|---|
| H₀: μ = μ₀ ; H₁: μ ≠ μ₀ | Bilateral | |z| > 1,96 |
| H₀: μ ≤ μ₀ ; H₁: μ > μ₀ | Unilateral derecho | z > 1,645 |
| H₀: μ ≥ μ₀ ; H₁: μ < μ₀ | Unilateral izquierdo | z < −1,645 |
El nivel de significación α es la probabilidad máxima de rechazar H₀ siendo cierta. Valores críticos habituales: bilateral 1,96 (α = 0,05) y 2,575 (α = 0,01); unilateral 1,645 (α = 0,05) y 2,33 (α = 0,01).
2. Contraste para la media
z =
H₀: μ = 500 g, σ = 20 g, n = 64, x̄ = 494 g, α = 0,05
- Contraste bilateral: H₀: μ = 500 ; H₁: μ ≠ 500. Región de aceptación: (−1,96 ; 1,96)
- = = 2,5 ; z = = −2,4
- |−2,4| > 1,96: z cae en la región crítica
Se rechaza H₀: con un nivel de significación del 5 %, hay evidencia de que el peso medio no es 500 g.
3. Contraste para la proporción
z =
Un partido afirma tener al menos el 40 % de apoyos; en una encuesta a 600 personas, 216 lo apoyan. α = 0,05
- H₀: p ≥ 0,4 ; H₁: p < 0,4 (unilateral izquierdo, región crítica z < −1,645)
- p̂ = = 0,36 ; √() = √0,0004 = 0,02
- z = = −2 < −1,645
Se rechaza H₀: los datos no respaldan la afirmación del partido al 5 %.
4. Errores y conclusiones
| H₀ cierta | H₀ falsa | |
|---|---|---|
| Se rechaza H₀ | Error de tipo I (probabilidad α) | Decisión correcta |
| No se rechaza H₀ | Decisión correcta | Error de tipo II (probabilidad β) |
Al disminuir α (por ejemplo, de 0,05 a 0,01) es más difícil rechazar H₀: baja el riesgo de error de tipo I pero aumenta el de tipo II. Para reducir ambos a la vez hay que aumentar el tamaño de la muestra.
Recuerda
- H₀ contiene la igualdad; H₁ marca si el contraste es bilateral o unilateral.
- Media: z = ; proporción: z = .
- Si z cae en la región crítica, se rechaza H₀ al nivel α.
- Error de tipo I: rechazar H₀ cierta (α); tipo II: no rechazar H₀ falsa (β).
- No rechazar H₀ no prueba que sea cierta.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.