¿Cada cuántos días coinciden dos autobuses? ¿En cuántos trozos iguales se puede cortar una cuerda? Para responder necesitas la divisibilidad: saber qué números caben exactamente dentro de otros.
Objetivos
- Reconocer múltiplos y divisores de un número
- Aplicar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10
- Distinguir números primos y compuestos y descomponer en factores primos
- Calcular el m.c.d. y el m.c.m. y usarlos para resolver problemas
1. Múltiplos y divisores
Múltiplo: Un número a es múltiplo de b si se obtiene multiplicando b por un número natural. Los múltiplos de 4 son 0, 4, 8, 12, 16… (hay infinitos).
Divisor: Un número b es divisor de a si la división a : b es exacta (resto 0). Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12 (hay una cantidad finita).
Encontrar todos los divisores de 18
- Busca parejas de números cuyo producto sea 18: 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6.
- Al llegar a 4 y 5 no hay división exacta; después de 3 × 6 las parejas se repetirían.
- Ordena todos los números encontrados.
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
2. Criterios de divisibilidad
| Un número es divisible por… | si… | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | termina en 0, 2, 4, 6 u 8 | 346 |
| 3 | la suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 471 (4 + 7 + 1 = 12) |
| 5 | termina en 0 o en 5 | 1 235 |
| 9 | la suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 738 (7 + 3 + 8 = 18) |
| 10 | termina en 0 | 5 280 |
3. Números primos y descomposición factorial
Número primo: Tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Número compuesto: Tiene más de dos divisores, como 15 (divisores 1, 3, 5, 15). El 1 no es primo ni compuesto.
Todo número compuesto se puede escribir como producto de factores primos. Se divide sucesivamente entre el menor primo posible hasta llegar a 1.
Descomponer 60
- 60 : 2 = 30
- 30 : 2 = 15
- 15 : 3 = 5
- 5 : 5 = 1
60 = 2² × 3 × 5
4. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
m.c.d.: El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Se calcula multiplicando los factores primos comunes elevados al menor exponente.
m.c.m.: El mínimo común múltiplo es el menor múltiplo común distinto de 0. Se calcula multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
m.c.d. y m.c.m. de 24 y 36
- 24 = 2³ × 3 y 36 = 2² × 3²
- m.c.d.: comunes con menor exponente → 2² × 3 = 12
- m.c.m.: todos con mayor exponente → 2³ × 3² = 72
m.c.d.(24, 36) = 12 y m.c.m.(24, 36) = 72
Recuerda
- a es múltiplo de b ⟺ b es divisor de a ⟺ la división a : b es exacta.
- Un número primo tiene exactamente dos divisores; el 1 no es primo.
- m.c.d.: factores comunes con el menor exponente; m.c.m.: todos los factores con el mayor exponente.
- Repartir en partes iguales → m.c.d.; coincidir de nuevo → m.c.m.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.