Una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas que solo se cumple para ciertos valores. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar el único valor de x que la hace cierta. Es la herramienta básica para resolver muchísimos problemas.
Objetivos
- Reconocer los elementos de una ecuación: miembros, términos, incógnita, solución
- Resolver ecuaciones con paréntesis
- Resolver ecuaciones con denominadores
- Plantear y resolver problemas con ecuaciones
1. Ecuaciones y soluciones
Solución: Valor de la incógnita que hace que los dos miembros de la ecuación sean iguales. x = 3 es solución de 2x + 1 = 7 porque 2 × 3 + 1 = 7.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Para resolver, se transforma la ecuación en otras equivalentes cada vez más sencillas.
- Regla de la suma: un término que está sumando en un miembro pasa al otro restando, y viceversa.
- Regla del producto: un número que multiplica a todo un miembro pasa al otro dividiendo, y viceversa.
2. Método general
- Quitar paréntesis.
- Quitar denominadores multiplicando por su m.c.m.
- Agrupar los términos con x en un miembro y los números en el otro.
- Reducir términos semejantes.
- Despejar x.
- Comprobar la solución.
Resolver 3(x − 2) + 4 = 2x + 5
- Paréntesis: 3x − 6 + 4 = 2x + 5
- Agrupar: 3x − 2x = 5 + 6 − 4
- Reducir: x = 7
- Comprobación: 3 × 5 + 4 = 19 y 2 × 7 + 5 = 19 ✓
x = 7
3. Ecuaciones con denominadores
Resolver + = 3
- m.c.m.(2, 3) = 6; multiplicamos todo por 6
- 3x + 2(x − 1) = 18
- 3x + 2x − 2 = 18
- 5x = 20
- x = 4
x = 4
4. Casos especiales
| Al final se llega a… | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| ax = b con a ≠ 0 | una única solución | 2x = 6 → x = 3 |
| 0x = b con b ≠ 0 | sin solución | x + 1 = x + 3 → 0x = 2 |
| 0x = 0 | infinitas soluciones (identidad) | 2(x + 1) = 2x + 2 |
5. Resolver problemas
- Lee y elige la incógnita (x = …).
- Expresa los demás datos en función de x.
- Plantea la ecuación.
- Resuélvela.
- Interpreta y comprueba la solución en el enunciado.
La edad de una madre es el triple de la de su hijo y entre los dos suman 48 años
- Edad del hijo: x; edad de la madre: 3x
- x + 3x = 48
- 4x = 48, x = 12
- El hijo tiene 12 años y la madre 36.
Recuerda
- Lo que suma pasa restando; lo que multiplica pasa dividiendo.
- Orden: paréntesis, denominadores, agrupar, reducir, despejar.
- Con denominadores, multiplica todos los términos por el m.c.m.
- 0x = b (b ≠ 0): sin solución; 0x = 0: infinitas soluciones.
- Comprueba siempre la solución.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.