Una ecuación de segundo grado es la que, una vez reducida, tiene la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Puede tener dos soluciones, una o ninguna. Aprenderás a resolver las incompletas de forma rápida y las completas con la fórmula general.
Objetivos
- Escribir una ecuación de segundo grado en forma general e identificar a, b y c
- Resolver ecuaciones incompletas (b = 0 o c = 0)
- Aplicar la fórmula general
- Usar el discriminante para saber cuántas soluciones hay
- Resolver problemas sencillos que llevan a una ecuación de segundo grado
1. Forma general
ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0
Escribir en forma general 2x² = 5x − 3
- Pasamos todo al primer miembro: 2x² − 5x + 3 = 0
- a = 2, b = −5, c = 3
2. Ecuaciones incompletas
| Tipo | Método | Ejemplo |
|---|---|---|
| ax² + c = 0 (b = 0) | Despejar x² y hacer la raíz (±) | x² − 9 = 0 → x² = 9 → x = 3 o x = −3 |
| ax² + bx = 0 (c = 0) | Sacar factor común x | x² − 5x = 0 → x(x − 5) = 0 → x = 0 o x = 5 |
| ax² = 0 | Una única solución | 3x² = 0 → x = 0 |
3. La fórmula general
x =
Resolver x² − 5x + 6 = 0
- a = 1, b = −5, c = 6
- b² − 4ac = 25 − 24 = 1
- x =
- x₁ = = 3 y x₂ = = 2
Soluciones: x = 3 y x = 2
Resolver 2x² + 3x − 2 = 0
- a = 2, b = 3, c = −2
- b² − 4ac = 9 + 16 = 25
- x =
- x₁ = = y x₂ = = −2
4. El discriminante
Discriminante: Δ = b² − 4ac, la expresión que está dentro de la raíz.
| Valor de Δ | Número de soluciones | Ejemplo |
|---|---|---|
| Δ > 0 | dos soluciones distintas | x² − 5x + 6 = 0 (Δ = 1) |
| Δ = 0 | una solución doble | x² − 6x + 9 = 0 (Δ = 0, x = 3) |
| Δ < 0 | ninguna solución | x² + x + 1 = 0 (Δ = −3) |
Recuerda
- Forma general: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0.
- ax² + c = 0: despejar x² y raíz con ±.
- ax² + bx = 0: factor común x; una solución es x = 0.
- x = .
- Δ = b² − 4ac: positivo, dos soluciones; cero, una; negativo, ninguna.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.