El álgebra usa letras para representar números desconocidos o que pueden variar. Con ellas escribes fórmulas, generalizas patrones y, más adelante, planteas ecuaciones. Aquí aprendes a traducir enunciados, a operar con monomios y polinomios y a usar las identidades notables.
Objetivos
- Traducir enunciados al lenguaje algebraico y calcular valores numéricos
- Identificar coeficiente, parte literal y grado de un monomio
- Sumar, restar y multiplicar monomios y polinomios
- Sacar factor común
- Desarrollar las identidades notables
1. Lenguaje algebraico y valor numérico
| Enunciado | Expresión algebraica |
|---|---|
| El doble de un número | 2x |
| Un número más 5 | x + 5 |
| El cuadrado de un número menos 3 | x² − 3 |
| Dos números consecutivos | x y x + 1 |
| La mitad de un número |
El valor numérico de una expresión es el número que se obtiene al sustituir las letras por valores concretos.
Valor numérico de 3x² − 2x + 1 para x = −2
- 3 × (−2)² − 2 × (−2) + 1
- = 3 × 4 + 4 + 1
- = 17
2. Monomios
Monomio: Producto de un número (coeficiente) por una o varias letras con exponente natural (parte literal). Su grado es la suma de los exponentes de las letras.
En −5x²y, el coeficiente es −5, la parte literal x²y y el grado 2 + 1 = 3. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal: solo esos se pueden sumar o restar.
Operar con monomios
- Suma: 4x² + 3x² = 7x²
- Resta: 2ab − 5ab = −3ab
- Producto: (3x²) × (−2x³) = −6x⁵
- Cociente: 12x⁵ : 4x² = 3x³
3. Polinomios
Polinomio: Suma de monomios no semejantes. Su grado es el mayor grado de sus términos. El término sin letra es el término independiente.
P(x) = 2x² − 3x + 1 y Q(x) = x² + 4x − 5
- P + Q = 3x² + x − 4
- P − Q = 2x² − 3x + 1 − x² − 4x + 5 = x² − 7x + 6
Multiplicar (x + 3)(2x − 1)
- Cada término del primero por cada término del segundo:
- x × 2x + x × (−1) + 3 × 2x + 3 × (−1)
- = 2x² − x + 6x − 3 = 2x² + 5x − 3
4. Factor común
Sacar factor común es aplicar la propiedad distributiva al revés: a × b + a × c = a × (b + c).
Factorizar 6x³ − 9x²
- Mayor factor común: 3x²
- 6x³ = 3x² × 2x y 9x² = 3x² × 3
- 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3)
5. Identidades notables
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Desarrollar (x + 4)², (2x − 3)² y (x + 5)(x − 5)
- (x + 4)² = x² + 8x + 16
- (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9
- (x + 5)(x − 5) = x² − 25
Recuerda
- Valor numérico: se sustituye la letra, con paréntesis si es negativa.
- Solo se suman o restan monomios semejantes.
- Para multiplicar polinomios, cada término por cada término.
- Factor común: ab + ac = a(b + c).
- (a ± b)² = a² ± 2ab + b² y (a + b)(a − b) = a² − b².
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.