Costes, ingresos, crecimiento de una población, tarifas por tramos… Las funciones describen cómo una magnitud depende de otra. En esta lección repasas las características de una función y los modelos elementales que más se usan en Ciencias Sociales.
Objetivos
- Calcular el dominio y el recorrido de una función
- Describir monotonía, extremos y simetrías de una gráfica
- Usar funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa como modelos
- Reconocer el crecimiento exponencial y la función logarítmica
- Trabajar con funciones definidas a trozos, composición e inversa
1. Concepto y características
Función: Relación que asocia a cada valor x de un conjunto (el dominio, Dom f) un único valor y = f(x). El conjunto de valores que toma f es el recorrido (Im f).
- Polinomios: dominio ℝ.
- Cocientes: se excluyen los valores que anulan el denominador. Dom = ℝ − {3}.
- Raíces de índice par: radicando ≥ 0. Dom √(x − 2) = [2, +∞).
- Logaritmos: argumento > 0. Dom ln (x + 4) = (−4, +∞).
En una gráfica se estudian: monotonía (intervalos donde crece o decrece), máximos y mínimos, cortes con los ejes y simetría (par si f(−x) = f(x), simétrica respecto al eje Y; impar si f(−x) = −f(x), simétrica respecto al origen).
2. Lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa
| Función | Gráfica | Uso típico |
|---|---|---|
| f(x) = mx + n | Recta de pendiente m | Costes: fijo n y variable m por unidad |
| f(x) = ax² + bx + c | Parábola con vértice en x = | Beneficios con un máximo |
| f(x) = | Hipérbola con asíntotas en los ejes | Reparto: precio por persona de un gasto fijo |
Beneficio máximo: B(x) = −2x² + 80x − 600
- a = −2 < 0: la parábola tiene un máximo en el vértice
- xv = = 20
- B(20) = −800 + 1600 − 600 = 200
El beneficio máximo es 200, al producir 20 unidades.
Umbral de rentabilidad
- Costes C(x) = 500 + 20x; ingresos I(x) = 45x
- I(x) = C(x) ⟹ 25x = 500 ⟹ x = 20
- A partir de 20 unidades hay beneficio
3. Exponenciales y logarítmicas
f(x) = k · aˣ (a > 0, a ≠ 1) modela magnitudes que cambian un porcentaje fijo por periodo: crece si a > 1 y decrece si 0 < a < 1. Su inversa es la logarítmica f(x) = loga x, de dominio (0, +∞).
Población que crece un 5 % anual
- P(t) = 2000 · 1,05t
- P(3) = 2000 · 1,157625 ≈ 2315 habitantes
4. Funciones a trozos, composición e inversa
Aparcamiento: 2 €/h las dos primeras horas y 1,50 €/h las siguientes
- f(x) = 2x si 0 < x ≤ 2
- f(x) = 4 + 1,5(x − 2) si x > 2
- f(5) = 4 + 4,5 = 8,50 €
Composición: (f ∘ g)(x) = f(g(x)): primero se aplica g y al resultado se le aplica f. En general f ∘ g ≠ g ∘ f.
Función inversa: f⁻¹ deshace lo que hace f: si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a. Para calcularla, se despeja x en y = f(x) y se intercambian las letras.
Recuerda
- Dominio: excluir ceros del denominador, radicandos negativos y argumentos de logaritmo ≤ 0.
- Recta: coste fijo + coste variable; parábola: extremo en x = .
- Exponencial k · aˣ: variación de un porcentaje fijo por periodo.
- A trozos: cada fórmula vale solo en su intervalo.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)); f⁻¹ deshace f.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.