Una inecuación es una desigualdad con incógnitas: 2x − 3 < 7, x² − 4 ≥ 0… Sus soluciones no suelen ser números aislados sino intervalos. Sirven para responder preguntas como «¿a partir de cuántas unidades es rentable?» o «¿entre qué valores debe estar la medida?».
Objetivos
- Resolver inecuaciones de primer grado respetando el cambio de sentido
- Resolver sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita
- Resolver inecuaciones de segundo grado estudiando el signo
- Expresar las soluciones con intervalos y representarlas en la recta
1. Inecuaciones de primer grado
Se resuelven como las ecuaciones (quitar paréntesis y denominadores, agrupar, despejar), con una regla nueva:
Resuelve 3(x − 1) ≥ 5x + 7
- 3x − 3 ≥ 5x + 7
- 3x − 5x ≥ 7 + 3 ⟹ −2x ≥ 10
- Dividimos entre −2 y cambiamos el sentido: x ≤ −5
x ∈ (−∞, −5]
2. Sistemas de inecuaciones
Se resuelve cada inecuación por separado y la solución del sistema es la intersección de las soluciones (lo que cumple las dos a la vez).
Resuelve el sistema: 2x + 1 > 3 y x − 4 ≤ 2
- Primera: 2x > 2 ⟹ x > 1
- Segunda: x ≤ 6
- Intersección: 1 < x ≤ 6
x ∈ (1, 6]
3. Inecuaciones de segundo grado
- Pasa todo a un miembro: ax² + bx + c < 0 (o >, ≤, ≥).
- Halla las raíces de ax² + bx + c = 0.
- Las raíces dividen la recta en intervalos: estudia el signo en cada uno con un valor de prueba.
- Elige los intervalos que cumplen la inecuación. Incluye las raíces solo si la desigualdad es ≤ o ≥.
Resuelve x² − x − 6 < 0
- Raíces: x = 3 y x = −2.
- En (−∞, −2), con x = −3: 9 + 3 − 6 = 6 > 0.
- En (−2, 3), con x = 0: −6 < 0 ✓
- En (3, +∞), con x = 4: 16 − 4 − 6 = 6 > 0.
x ∈ (−2, 3)
Recuerda
- Multiplicar o dividir por un negativo cambia el sentido de la desigualdad.
- Sistema de inecuaciones: intersección de las soluciones.
- Segundo grado: raíces + estudio del signo por intervalos.
- Extremos incluidos (corchete) solo con ≤ o ≥.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.