Las potencias abrevian productos de factores iguales y permiten escribir números muy grandes o muy pequeños de forma cómoda. La raíz cuadrada es la operación que deshace el cuadrado.
Objetivos
- Calcular potencias de base entera y fraccionaria, cuidando el signo
- Aplicar las propiedades de las potencias de la misma base
- Interpretar el exponente cero y el exponente negativo
- Escribir y operar números en notación científica
- Calcular raíces cuadradas exactas y aproximadas
1. Potencias y signo
Potencia: aⁿ = a × a × … × a (n factores). a es la base y n el exponente.
| Base | Exponente par | Exponente impar |
|---|---|---|
| positiva | positivo: 2⁴ = 16 | positivo: 2³ = 8 |
| negativa | positivo: (−2)⁴ = 16 | negativo: (−2)³ = −8 |
Con fracciones, se elevan numerador y denominador: ()³ = = .
2. Propiedades de las potencias
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | aᵐ × aⁿ = am+n | 5² × 5³ = 5⁵ |
| Cociente de igual base | aᵐ : aⁿ = am−n | 7⁶ : 7² = 7⁴ |
| Potencia de una potencia | (aᵐ)ⁿ = am×n | (3²)⁴ = 3⁸ |
| Potencia de un producto | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2 × 5)³ = 2³ × 5³ |
3. Exponente cero y exponente negativo
a⁰ = 1 (a ≠ 0)
a−n =
Calcular 2−3 y ()−2
- 2−3 = = = 0,125
- ()−2 = ()² =
4. Notación científica
Notación científica: Un número está en notación científica si se escribe a × 10ⁿ con 1 ≤ a < 10 y n entero.
Escribir en notación científica
- 340 000 = 3,4 × 10⁵ (la coma se desplaza 5 lugares a la izquierda)
- 0,00072 = 7,2 × 10−4 (la coma se desplaza 4 lugares a la derecha)
Multiplicar (3 × 10⁴) × (2,5 × 10³)
- Multiplicamos las partes decimales: 3 × 2,5 = 7,5
- Multiplicamos las potencias: 10⁴ × 10³ = 10⁷
7,5 × 10⁷
5. Raíz cuadrada
Raíz cuadrada: √a = b significa que b² = a (con b ≥ 0). Un número positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas: las de 49 son 7 y −7; el símbolo √49 indica la positiva, 7.
Los cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…) tienen raíz exacta. Para los demás se da una raíz entera o una aproximación: 5² = 25 < 30 < 36 = 6², así que √30 está entre 5 y 6 (√30 ≈ 5,48).
Recuerda
- Base negativa: exponente par da positivo, impar da negativo.
- aᵐ × aⁿ = am+n, aᵐ : aⁿ = am−n, (aᵐ)ⁿ = am×n.
- a⁰ = 1 y a−n = .
- Notación científica: a × 10ⁿ con 1 ≤ a < 10.
- √a = b si b² = a, con b ≥ 0.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.