No se puede saber qué número saldrá al lanzar un dado, pero sí cuánto de probable es cada resultado. La probabilidad mide esa posibilidad con un número entre 0 y 1. En esta lección aprendes a describir sucesos y a calcular probabilidades con la regla de Laplace y con diagramas de árbol.
Objetivos
- Reconocer experimentos aleatorios y describir su espacio muestral
- Operar con sucesos: contrario, unión, intersección, incompatibles
- Relacionar frecuencia relativa y probabilidad
- Aplicar la regla de Laplace
- Calcular probabilidades en experimentos compuestos con diagramas de árbol
1. Experimentos aleatorios y sucesos
Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, aunque se repita en las mismas condiciones. El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral E.
Al lanzar un dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un suceso es un subconjunto de E: «sacar par» = {2, 4, 6}.
| Suceso | Significado | Ejemplo con un dado |
|---|---|---|
| Seguro | Ocurre siempre (es E) | Sacar menos de 7 |
| Imposible | No ocurre nunca (∅) | Sacar un 7 |
| Contrario de A (A̅) | Ocurre cuando no ocurre A | Contrario de «par»: «impar» |
| Unión A ∪ B | Ocurre A o B (o los dos) | Par o mayor que 3: {2, 4, 5, 6} |
| Intersección A ∩ B | Ocurren A y B a la vez | Par y mayor que 3: {4, 6} |
| Incompatibles | No pueden ocurrir a la vez: A ∩ B = ∅ | «Par» y «sacar 5» |
2. Frecuencia y probabilidad
Si se repite un experimento muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número: su probabilidad (ley de los grandes números). Al lanzar una moneda 1000 veces, la proporción de caras se acerca a 0,5.
3. Regla de Laplace y propiedades
P(A) =
Una bolsa tiene 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes. Se saca una al azar
- Casos posibles: 10
- P(azul) = = 0,5
- P(no verde) = 1 − = 0,8
- 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(seguro) = 1; P(imposible) = 0.
- Suceso contrario: P(A̅) = 1 − P(A).
- Unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si son incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
4. Experimentos compuestos: diagramas de árbol
Un experimento compuesto encadena varios experimentos simples (lanzar dos monedas, sacar dos bolas…). Un diagrama de árbol muestra todos los caminos; la probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas.
Bolsa con 3 bolas rojas y 2 azules: se sacan dos bolas sin devolver la primera
- Primera roja: . Quedan 2 rojas de 4 bolas
- Segunda roja:
- P(dos rojas) = · = = 0,3
Recuerda
- La probabilidad es un número entre 0 y 1.
- Laplace: casos favorables entre casos posibles, si son equiprobables.
- P(A̅) = 1 − P(A).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- En un árbol, se multiplican las probabilidades a lo largo de cada camino.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.