Una sucesión es una lista ordenada de números que suele seguir un patrón. Reconocer el patrón permite calcular cualquier término sin escribir todos los anteriores. Las dos sucesiones más importantes son las progresiones aritméticas y las geométricas.
Objetivos
- Calcular términos de una sucesión a partir de su término general o de una ley de recurrencia
- Reconocer progresiones aritméticas y geométricas
- Hallar el término general de una progresión
- Calcular la suma de n términos de una progresión
- Resolver problemas de crecimiento con progresiones
1. Sucesiones
Sucesión: Conjunto ordenado de números a₁, a₂, a₃, … llamados términos. El término general aₙ da el valor del término que ocupa el lugar n.
Término general aₙ = n² + 1
- a₁ = 1 + 1 = 2
- a₂ = 4 + 1 = 5
- a₅ = 25 + 1 = 26
Una sucesión también puede definirse por recurrencia: cada término se calcula a partir de los anteriores. Ejemplo (sucesión de Fibonacci): a₁ = 1, a₂ = 1 y an+2 = an+1 + aₙ, que da 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
2. Progresiones aritméticas
Progresión aritmética: Cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo d, la diferencia. Ejemplo: 7, 12, 17, 22… (d = 5).
aₙ = a₁ + (n − 1) · d
Sₙ =
En la progresión 4, 7, 10…, calcula a₂₀ y la suma de los 20 primeros términos
- a₁ = 4, d = 3
- a₂₀ = 4 + 19 · 3 = 61
- S₂₀ = = 65 · 10 = 650
3. Progresiones geométricas
Progresión geométrica: Cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo r, la razón. Ejemplo: 5, 10, 20, 40… (r = 2).
aₙ = a₁ · rn−1
Sₙ = (r ≠ 1)
Progresión 3, 6, 12…: calcula a₆ y S₆
- a₁ = 3, r = 2
- a₆ = 3 · 2⁵ = 96
- S₆ = = 3 · 63 = 189
4. Reconocer el tipo de progresión
| Comprobación | Si es constante… | Ejemplo |
|---|---|---|
| Restar términos consecutivos | Aritmética, d = diferencia | 10, 7, 4, 1 → d = −3 |
| Dividir términos consecutivos | Geométrica, r = cociente | 81, 27, 9, 3 → r = |
| Ni restas ni cocientes constantes | Ni aritmética ni geométrica | 1, 4, 9, 16 (cuadrados) |
Recuerda
- El término general aₙ permite calcular cualquier término.
- Aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d; Sₙ = .
- Geométrica: aₙ = a₁ · rn−1; Sₙ = .
- Restas constantes → aritmética; cocientes constantes → geométrica.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.