Muchas situaciones cotidianas son proporcionales: el precio de la fruta según el peso, el tiempo de un viaje según la velocidad, las rebajas de una tienda… Saber reconocer el tipo de proporcionalidad te permite resolver estos problemas con seguridad.
Objetivos
- Reconocer magnitudes directa e inversamente proporcionales
- Resolver problemas con la regla de tres simple directa e inversa
- Hacer repartos directamente proporcionales
- Calcular porcentajes, aumentos y disminuciones porcentuales con el índice de variación
1. Razón y proporción
Razón: La razón entre dos números a y b es el cociente . Una proporción es una igualdad de dos razones: = .
En una proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios: a × d = b × c. Así se calcula un término desconocido: en = , x = = 12.
2. Proporcionalidad directa e inversa
| Directa | Inversa | |
|---|---|---|
| Si una magnitud se duplica… | la otra se duplica | la otra se reduce a la mitad |
| Lo que se mantiene constante | el cociente | el producto x × y |
| Ejemplo | kilos de fruta y precio | obreros y días de trabajo |
Regla de tres directa: 4 kg de naranjas cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan 10 kg?
- Más kilos, más precio: es directa.
- 4 kg → 6 € y 10 kg → x €
- x = = 15 €
10 kg cuestan 15 €.
Regla de tres inversa: 6 pintores tardan 10 días. ¿Cuánto tardarán 4 pintores?
- Menos pintores, más días: es inversa.
- El producto es constante: 6 × 10 = 60
- 4 × x = 60, así que x = 15 días
3. Repartos directamente proporcionales
Para repartir una cantidad de forma proporcional a unos números, se divide la cantidad entre la suma de esos números y se multiplica por cada uno.
Repartir 900 € entre tres socios que aportaron 2, 3 y 4 partes
- Total de partes: 2 + 3 + 4 = 9
- Valor de una parte: 900 : 9 = 100 €
- Reparto: 200 €, 300 € y 400 €
4. Porcentajes
Un porcentaje es una razón de denominador 100: el p % de una cantidad C es × C.
Calcular el 15 % de 240
- × 240 = 0,15 × 240 = 36
¿Qué porcentaje es 18 de 72?
- = 0,25
- 0,25 = 25 %
5. Aumentos y disminuciones porcentuales
Cantidad final = Cantidad inicial × índice de variación
Aumento del p %: índice 1 +
Disminución del p %: índice 1 −
Un abrigo de 80 € rebajado un 25 %
- Índice: 1 − 0,25 = 0,75
- 80 × 0,75 = 60 €
Precio sin IVA: un artículo cuesta 121 € con un IVA del 21 %
- Índice de aumento: 1,21
- Precio inicial × 1,21 = 121
- Precio inicial = 121 : 1,21 = 100 €
Recuerda
- Directa: cociente constante. Inversa: producto constante.
- En una proporción, a × d = b × c.
- Reparto proporcional: cantidad : suma de partes, y luego por cada parte.
- p % de C = × C.
- Aumentos y descuentos: se multiplica por el índice de variación.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.