Una fotografía ampliada, un mapa o la maqueta de un edificio mantienen la forma del original pero cambian su tamaño: son figuras semejantes. La semejanza permite medir alturas inaccesibles y trabajar con escalas.
Objetivos
- Reconocer figuras semejantes y calcular la razón de semejanza
- Aplicar el teorema de Tales
- Usar la semejanza de triángulos para medir alturas y distancias
- Trabajar con escalas en mapas, planos y maquetas
- Relacionar la razón de semejanza con las áreas y los volúmenes
1. Figuras semejantes
Figuras semejantes: Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. El cociente entre dos lados homólogos (correspondientes) es la razón de semejanza k.
Rectángulos de 4 × 6 cm y 10 × 15 cm
- = 2,5 y = 2,5
- Los lados son proporcionales: son semejantes con k = 2,5.
2. El teorema de Tales
Si dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.
En una recta se forman segmentos de 4 cm y 6 cm; en la otra, el correspondiente al de 4 cm mide 6 cm. ¿Cuánto mide el otro?
- =
- 4x = 36
- x = 9 cm
Triángulos en posición de Tales: si en un triángulo se traza una recta paralela a un lado, se forma un triángulo pequeño semejante al grande.
3. Triángulos semejantes
- Dos ángulos iguales: los triángulos son semejantes (el tercero también coincide).
- Tres lados proporcionales: son semejantes.
- Dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual: son semejantes.
Medir un árbol con su sombra
A la misma hora, un palo de 2 m da una sombra de 3 m y un árbol una sombra de 18 m.
- Los rayos del sol son paralelos: los triángulos son semejantes.
- =
- h = 2 × 6 = 12 m
4. Escalas
Escala: Razón entre una medida en el plano o mapa y la medida real, con las mismas unidades. La escala 1 : 50 000 significa que 1 cm en el mapa son 50 000 cm = 500 m en la realidad.
En un mapa a escala 1 : 50 000, dos pueblos están a 4 cm
- Real: 4 × 50 000 = 200 000 cm
- 200 000 cm = 2000 m = 2 km
5. Áreas y volúmenes de figuras semejantes
Razón de longitudes: k
Razón de áreas: k²
Razón de volúmenes: k³
Se amplía un dibujo de 10 cm² con k = 3
- Área nueva: 10 × 3² = 90 cm²
Recuerda
- Semejantes: ángulos iguales y lados proporcionales (razón k).
- Tales: rectas paralelas cortan segmentos proporcionales.
- Dos triángulos con dos ángulos iguales son semejantes.
- Escala 1 : n: 1 unidad en el plano son n unidades reales.
- Áreas: × k²; volúmenes: × k³.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.