Cuando un problema tiene dos incógnitas relacionadas por dos condiciones, se plantea un sistema de dos ecuaciones. Resolverlo es encontrar el par de valores (x, y) que cumple las dos ecuaciones a la vez.
Objetivos
- Comprobar si un par de valores es solución de un sistema
- Resolver sistemas por sustitución, igualación y reducción
- Interpretar gráficamente la solución de un sistema
- Clasificar un sistema según su número de soluciones
- Plantear y resolver problemas con sistemas
1. Ecuaciones con dos incógnitas y sistemas
Una ecuación como x + y = 5 tiene infinitas soluciones: (0, 5), (1, 4), (2, 3)… Al añadir una segunda ecuación, normalmente solo un par cumple las dos.
Solución de un sistema: Par (x, y) que cumple todas las ecuaciones. (3, 2) es solución de x + y = 5 y x − y = 1, porque 3 + 2 = 5 y 3 − 2 = 1.
2. Los tres métodos
Sustitución: x + y = 7 ; 2x − y = 2
- Despejamos y en la primera: y = 7 − x
- Sustituimos en la segunda: 2x − (7 − x) = 2
- 3x − 7 = 2, 3x = 9, x = 3
- y = 7 − 3 = 4
Solución: x = 3, y = 4
Igualación: y = 2x − 1 ; y = −x + 5
- Igualamos las dos expresiones de y: 2x − 1 = −x + 5
- 3x = 6, x = 2
- y = 2 × 2 − 1 = 3
Solución: x = 2, y = 3
Reducción: 3x + 2y = 16 ; 5x − 2y = 0
- Los términos en y son opuestos: sumamos las ecuaciones
- 8x = 16, x = 2
- 3 × 2 + 2y = 16, 2y = 10, y = 5
Solución: x = 2, y = 5
3. Interpretación gráfica y tipos de sistemas
Cada ecuación lineal con dos incógnitas se representa como una recta. La solución del sistema es el punto de corte de las dos rectas.
| Rectas | Soluciones | Tipo de sistema |
|---|---|---|
| Se cortan en un punto | una única | compatible determinado |
| Coinciden | infinitas | compatible indeterminado |
| Son paralelas | ninguna | incompatible |
x + y = 3 ; 2x + 2y = 8
- La segunda equivale a x + y = 4.
- x + y no puede valer 3 y 4 a la vez.
- Las rectas son paralelas: el sistema es incompatible.
4. Resolver problemas
En una granja hay gallinas y conejos: 20 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?
- Gallinas: x; conejos: y
- Cabezas: x + y = 20
- Patas: 2x + 4y = 56
- De la primera, x = 20 − y: 2(20 − y) + 4y = 56
- 40 + 2y = 56, y = 8; x = 12
12 gallinas y 8 conejos.
Recuerda
- La solución es un par (x, y) que cumple las dos ecuaciones.
- Sustitución: despejar y sustituir. Igualación: despejar la misma incógnita e igualar. Reducción: sumar o restar para eliminar una incógnita.
- Gráficamente, la solución es el punto de corte de dos rectas.
- Rectas secantes: una solución; coincidentes: infinitas; paralelas: ninguna.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.