Matemáticas · 1.º de Bachillerato

Resumen: La derivada y sus aplicaciones

Tasa de variación, derivada en un punto, recta tangente, reglas de derivación, regla de la cadena, monotonía, extremos y optimización. Matemáticas I.

La derivada es la pendiente de la tangente y la rapidez de cambio; su signo da la monotonía.

Definiciones

  • TVM [a, b] = .
  • f'(a) = limh→0 .
  • Tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a).

Reglas

  • (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹; (eˣ)' = eˣ; (ln x)' = ; (sen x)' = cos x; (cos x)' = −sen x.
  • (fg)' = f'g + fg'; ()' = .
  • Cadena: (g(f(x)))' = g'(f(x)) · f'(x).

Aplicaciones

  • f' > 0: crece; f' < 0: decrece.
  • Extremo relativo: f' = 0 y cambio de signo.
  • Optimizar: una variable, derivar, igualar a 0, comprobar.

Errores frecuentes

  • Derivar un producto multiplicando las derivadas.
  • Olvidar la derivada interior en la regla de la cadena.
  • Dar como extremo un punto con f' = 0 sin cambio de signo.