La derivada mide la rapidez con la que cambia una función: la velocidad es la derivada de la posición, el coste marginal es la derivada del coste. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente. Con ella sabrás dónde crece o decrece una función y encontrarás máximos y mínimos.
Objetivos
- Calcular la tasa de variación media e interpretarla
- Entender la derivada como límite y como pendiente de la tangente
- Derivar con las reglas de la suma, el producto, el cociente y la cadena
- Escribir la ecuación de la recta tangente
- Estudiar la monotonía, hallar extremos y resolver problemas de optimización
1. De la tasa de variación a la derivada
TVM [a, b] =
f'(a) = limh→0
Derivada de f(x) = x² + 1 en x = 2 por la definición
- f(2 + h) − f(2) = (2 + h)² + 1 − 5 = 4h + h²
- = 4 + h
- f'(2) = limh→0 (4 + h) = 4
y − f(a) = f'(a) · (x − a)
2. Reglas de derivación
| Función | Derivada |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| xⁿ | n xⁿ⁻¹ |
| √x | |
| eˣ | eˣ |
| ln x | |
| sen x | cos x |
| cos x | −sen x |
| Operación | Regla |
|---|---|
| Suma | (f + g)' = f' + g' |
| Producto | (f · g)' = f' · g + f · g' |
| Cociente | ()' = |
| Cadena | (g(f(x)))' = g'(f(x)) · f'(x) |
Derivar f(x) = ln (x² + 1) y g(x) = sen (3x)
- f'(x) = · 2x =
- g'(x) = cos (3x) · 3 = 3 cos (3x)
3. Monotonía y extremos
- Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente en él.
- Si f'(x) < 0 en un intervalo, f es decreciente en él.
- En un máximo o mínimo relativo de una función derivable, f'(a) = 0 (tangente horizontal).
Estudiar f(x) = x³ − 3x
- f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1); se anula en x = −1 y x = 1
- Signo de f': + en (−∞, −1), − en (−1, 1), + en (1, +∞)
- Máximo relativo en (−1, 2) y mínimo relativo en (1, −2)
4. Optimización
- Escribe la función que hay que maximizar o minimizar.
- Si depende de dos variables, usa la condición del enunciado para dejar una sola.
- Deriva, iguala a 0 y comprueba que se trata del extremo buscado.
- Responde a la pregunta con unidades.
Rectángulo de perímetro 40 cm con área máxima
- Lados x e y: 2x + 2y = 40 ⟹ y = 20 − x
- A(x) = x(20 − x) = 20x − x²
- A'(x) = 20 − 2x = 0 ⟹ x = 10; A' pasa de + a −: máximo
- Es un cuadrado de 10 cm: área 100 cm²
Recuerda
- f'(a) = limh→0 : pendiente de la tangente en a.
- Tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a).
- Producto: f'g + fg'; cociente: ; cadena: g'(f(x)) · f'(x).
- f' > 0: crece; f' < 0: decrece; extremos donde f' cambia de signo.
- Optimizar: función de una variable, derivar, igualar a 0 y comprobar.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.