¿De cuántas formas se puede elegir un equipo? ¿Qué probabilidad hay de sacar dos ases seguidos? La combinatoria enseña a contar sin hacer listas interminables y la probabilidad mide lo posible que es un suceso. Juntas permiten estudiar experimentos compuestos de varias etapas.
Objetivos
- Usar el principio multiplicativo y distinguir variaciones, permutaciones y combinaciones
- Aplicar la regla de Laplace y las propiedades de la probabilidad
- Calcular probabilidades de experimentos compuestos con diagramas de árbol
- Usar tablas de contingencia y la probabilidad condicionada
1. Técnicas de recuento
Principio multiplicativo: si una elección se hace en varias etapas con a, b, c… opciones, el total de posibilidades es a · b · c… Con 3 camisetas y 4 pantalones hay 3 · 4 = 12 conjuntos.
| Tipo | ¿Importa el orden? | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Variaciones sin repetición | Sí | Vn,k = n · (n − 1) · … (k factores) | Podio de 3 entre 8 corredores: 8 · 7 · 6 = 336 |
| Variaciones con repetición | Sí | VRn,k = nᵏ | Códigos de 4 cifras: 10⁴ = 10 000 |
| Permutaciones | Sí (todos) | Pn = n! | Ordenar 5 libros: 5! = 120 |
| Combinaciones | No | Cn,k = | Elegir 2 delegados entre 30: = 435 |
2. Regla de Laplace y propiedades
P(A) =
- 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(seguro) = 1; P(imposible) = 0.
- Suceso contrario: P(Ā) = 1 − P(A).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A y B son incompatibles, P(A ∩ B) = 0.
3. Experimentos compuestos: diagramas de árbol
En un diagrama de árbol, la probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas, y la probabilidad de un suceso es la suma de las de sus caminos.
Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se sacan dos sin devolución. P(dos rojas)?
- Primera roja:
- Segunda roja (quedan 2 rojas de 4):
- P = · = =
P(dos rojas) = 0,3
4. Tablas de contingencia y probabilidad condicionada
| Chicas | Chicos | Total | |
|---|---|---|---|
| Fútbol | 12 | 18 | 30 |
| Baloncesto | 8 | 12 | 20 |
| Total | 20 | 30 | 50 |
P(A | B) =
Se elige un alumno al azar. Sabiendo que es chica, ¿qué probabilidad hay de que juegue al fútbol?
- Nos restringimos a las 20 chicas.
- P(Fútbol | Chica) = = 0,6
Recuerda
- Importa el orden: variaciones (o permutaciones si entran todos). No importa: combinaciones.
- Laplace: favorables ÷ posibles, con casos equiprobables.
- Árbol: se multiplica a lo largo de un camino y se suman los caminos.
- P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B).
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.