¿Cuántos clientes de cada 20 comprarán un producto? ¿Qué porcentaje de la población mide más de 1,80 m? Estas preguntas se responden con dos modelos fundamentales: la distribución binomial (para contar éxitos) y la distribución normal (para medidas que se agrupan en torno a una media). En esta lección aprenderás a usar ambas y la tabla de la normal.
Objetivos
- Calcular la media y la desviación típica de una variable aleatoria discreta
- Reconocer una situación binomial y calcular probabilidades con B(n, p)
- Tipificar una variable normal y usar la tabla N(0, 1)
- Calcular probabilidades e intervalos en distribuciones normales
- Aproximar una binomial por una normal con la corrección de continuidad
1. Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria X asigna un número a cada resultado de un experimento. Si toma valores aislados es discreta y se describe con su función de probabilidad pᵢ = P(X = xᵢ), con Σ pᵢ = 1.
μ = Σ xᵢ · pᵢ ; σ² = Σ xᵢ² · pᵢ − μ²
X toma los valores 0, 1 y 2 con probabilidades 0,2, 0,5 y 0,3
- μ = 0 · 0,2 + 1 · 0,5 + 2 · 0,3 = 1,1
- σ² = 0 + 0,5 + 4 · 0,3 − 1,1² = 1,7 − 1,21 = 0,49 ⟹ σ = 0,7
2. La distribución binomial
Experimento binomial: Se repite n veces de forma independiente una prueba con dos resultados: éxito (probabilidad p) o fracaso (q = 1 − p). X = número de éxitos sigue una binomial B(n, p).
P(X = k) = (n sobre k) · pᵏ · qn − k , con (n sobre k) =
Se lanza una moneda 4 veces. P(exactamente 2 caras)
- X ~ B(4; 0,5)
- P(X = 2) = (4 sobre 2) · 0,5² · 0,5² = 6 ·
- = 0,375
3. La distribución normal
Una variable continua se describe con una función de densidad: las probabilidades son áreas bajo la curva, y P(X = a) = 0. La normal N(μ, σ) tiene forma de campana, simétrica respecto a μ.
Z = ~ N(0, 1)
| k | 0,5 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,96 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(Z ≤ k) | 0,6915 | 0,8413 | 0,8944 | 0,9332 | 0,9750 | 0,9772 |
- P(Z > k) = 1 − P(Z ≤ k)
- P(Z ≤ −k) = 1 − P(Z ≤ k) (simetría)
- P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
Estaturas X ~ N(170, 10). P(X ≤ 190)
- z = = 2
- P(Z ≤ 2) = 0,9772
Aproximadamente el 97,7 % mide 190 cm o menos.
4. Aproximación de la binomial por la normal
Si n es grande y se cumplen n · p ≥ 5 y n · q ≥ 5, B(n, p) se aproxima por N(np, √(npq)). Como pasamos de discreta a continua, se aplica la corrección de continuidad (de Yates): cada valor entero k se sustituye por el intervalo [k − 0,5, k + 0,5].
X ~ B(100; 0,5). P(X ≤ 55)
- μ = 50 ; σ = √25 = 5: X ≈ N(50, 5)
- P(X ≤ 55) ≈ P(X' ≤ 55,5) = P(Z ≤ 1,1)
- ≈ 0,8643
Recuerda
- Discreta: μ = Σ xᵢpᵢ.
- B(n, p): P(X = k) = (n sobre k)pᵏqn−k; μ = np, σ = √(npq).
- Normal: tipificar Z = y usar la tabla.
- Simetría: P(Z ≤ −k) = 1 − P(Z ≤ k).
- Binomial ≈ normal si np ≥ 5 y nq ≥ 5, con corrección de continuidad.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.