Una ecuación es una igualdad con una incógnita que solo se cumple para algunos valores: sus soluciones. En esta lección resuelves ecuaciones de primer grado más elaboradas, aprendes a resolver las de segundo grado y las usas para resolver problemas.
Objetivos
- Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores
- Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas sin fórmula
- Aplicar la fórmula de las ecuaciones de segundo grado
- Usar el discriminante para saber cuántas soluciones hay
- Plantear y resolver problemas con ecuaciones
1. Ecuaciones de primer grado
- Quitar paréntesis (propiedad distributiva).
- Quitar denominadores multiplicando todo por el m.c.m.
- Transponer: términos con x a un lado, números al otro.
- Reducir términos semejantes y despejar x.
- Comprobar sustituyendo la solución.
Resolver − = 1
- m.c.m.(4, 6) = 12. Multiplicamos todo por 12: 3(x − 1) − 2(x + 1) = 12
- Quitamos paréntesis: 3x − 3 − 2x − 2 = 12
- Reducimos: x − 5 = 12
- x = 17
x = 17
2. Ecuaciones de segundo grado incompletas
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Si b = 0 o c = 0 es incompleta y se resuelve sin fórmula.
| Tipo | Método | Ejemplo |
|---|---|---|
| ax² + c = 0 (b = 0) | Despejar x² y hacer la raíz (±) | x² − 9 = 0 ⟹ x² = 9 ⟹ x = 3 o x = −3 |
| ax² + bx = 0 (c = 0) | Sacar factor común x | x² − 5x = 0 ⟹ x(x − 5) = 0 ⟹ x = 0 o x = 5 |
3. Ecuaciones completas: la fórmula
x =
| Discriminante | Número de soluciones |
|---|---|
| Δ > 0 | Dos soluciones distintas |
| Δ = 0 | Una solución doble: x = |
| Δ < 0 | Ninguna solución real |
Resolver 2x² + 3x − 2 = 0
- a = 2, b = 3, c = −2
- Δ = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25
- x =
- x₁ = = ; x₂ = = −2
Soluciones: x = y x = −2
4. Resolver problemas
- Leer y elegir la incógnita.
- Plantear la ecuación.
- Resolverla.
- Comprobar y descartar soluciones sin sentido (longitudes negativas, edades no enteras…).
El largo de un rectángulo mide 3 cm más que el ancho y su área es 40 cm². ¿Cuánto mide el ancho?
- Ancho: x; largo: x + 3
- x(x + 3) = 40 ⟹ x² + 3x − 40 = 0
- Δ = 9 + 160 = 169; x =
- x = 5 o x = −8; una longitud no puede ser negativa
El ancho mide 5 cm (y el largo, 8 cm).
Recuerda
- Primer grado: paréntesis, denominadores, transponer, despejar y comprobar.
- Incompletas: despejar x² (b = 0) o sacar factor común x (c = 0).
- Completas: x = .
- El discriminante Δ = b² − 4ac indica 2, 1 o 0 soluciones.
- En un problema, comprueba que la solución tiene sentido.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.