Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad. En 4.º de ESO das un paso más: además de las ecuaciones de primer y segundo grado, aprenderás a resolver ecuaciones que se reducen a ellas mediante un cambio de variable, la factorización o la eliminación de denominadores y raíces.
Objetivos
- Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas
- Usar el discriminante para saber cuántas soluciones hay
- Resolver ecuaciones bicuadradas y ecuaciones en forma de producto
- Resolver ecuaciones racionales e irracionales y comprobar las soluciones
1. Ecuaciones de segundo grado
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⟹ x =
Discriminante: Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 hay dos soluciones; si Δ = 0, una (doble); si Δ < 0, ninguna solución real.
Resuelve x² − 5x + 6 = 0
- a = 1, b = −5, c = 6
- Δ = 25 − 24 = 1
- x =
x = 3 o x = 2
2. Ecuaciones bicuadradas y factorizadas
Una ecuación bicuadrada tiene la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Se hace el cambio z = x² y se resuelve una de segundo grado en z. Después, x = ±√z (solo para z ≥ 0).
Resuelve x⁴ − 10x² + 9 = 0
- z = x²: z² − 10z + 9 = 0
- z = ⟹ z = 9 o z = 1
- x² = 9 ⟹ x = ±3; x² = 1 ⟹ x = ±1
Cuatro soluciones: −3, −1, 1, 3
Si un producto vale 0, alguno de los factores es 0: (x − 2)(x + 5)(3x − 1) = 0 ⟹ x = 2, x = −5 o x = .
3. Ecuaciones racionales
Tienen la incógnita en el denominador. Se multiplica todo por el m.c.m. de los denominadores y, al final, se descartan las soluciones que anulan algún denominador.
Resuelve + x = 5
- Multiplicamos por x: 6 + x² = 5x
- x² − 5x + 6 = 0 ⟹ x = 2 o x = 3
- Ninguna anula el denominador.
x = 2 o x = 3
4. Ecuaciones irracionales
- Aísla la raíz en un miembro.
- Eleva al cuadrado los dos miembros.
- Resuelve la ecuación obtenida.
- Comprueba cada solución en la ecuación inicial.
Resuelve √(x + 7) = x + 1
- Al cuadrado: x + 7 = x² + 2x + 1
- x² + x − 6 = 0 ⟹ x = 2 o x = −3
- x = 2: √9 = 3 y 2 + 1 = 3 ✓
- x = −3: √4 = 2, pero −3 + 1 = −2 ✗
Única solución: x = 2
Recuerda
- x = con Δ = b² − 4ac; el signo de Δ da el número de soluciones.
- Bicuadrada: cambio z = x², luego x = ±√z.
- Producto igual a cero: cada factor igual a cero.
- Racionales e irracionales: siempre comprobar las soluciones.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.