Muchos problemas económicos y sociales se traducen en una ecuación (¿cuándo se igualan ingresos y costes?) o en una inecuación (¿a partir de cuántas unidades hay beneficio?). Aquí repasas los tipos de ecuaciones que aparecen en el curso y aprendes a resolver inecuaciones con una incógnita.
Objetivos
- Resolver ecuaciones de segundo grado, bicuadradas y polinómicas por factorización
- Resolver ecuaciones racionales e irracionales comprobando las soluciones
- Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas
- Resolver inecuaciones de primer y segundo grado y racionales
- Plantear ecuaciones e inecuaciones a partir de un enunciado
1. Ecuaciones polinómicas
ax² + bx + c = 0 ⟹ x =
Ecuación bicuadrada x⁴ − 13x² + 36 = 0
- Cambio t = x²: t² − 13t + 36 = 0
- t = 4 o t = 9
- x² = 4 ⟹ x = ±2; x² = 9 ⟹ x = ±3
Cuatro soluciones: −3, −2, 2 y 3.
Para ecuaciones de grado 3 o más con coeficientes enteros, busca raíces enteras entre los divisores del término independiente y factoriza con la regla de Ruffini.
2. Ecuaciones racionales e irracionales
Racional: = 2
- x ≠ 1 (el denominador no puede anularse)
- x + 3 = 2(x − 1) ⟹ x + 3 = 2x − 2
- x = 5, que es válida
Irracional: √(x + 7) = x + 1
- Elevamos al cuadrado: x + 7 = x² + 2x + 1
- x² + x − 6 = 0 ⟹ x = 2 o x = −3
- Comprobación: x = 2 ⟹ √9 = 3 ✓; x = −3 ⟹ √4 = 2 pero −3 + 1 = −2 ✗
Única solución: x = 2.
3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
- Si se pueden igualar las bases: 2x + 1 = 16 = 2⁴ ⟹ x + 1 = 4 ⟹ x = 3.
- Si no: tomar logaritmos. 5x = 40 ⟹ x = ≈ 2,29.
- Con cambio de variable: 32x − 4 · 3x + 3 = 0, con t = 3x: t² − 4t + 3 = 0.
- Logarítmicas: agrupa con las propiedades y aplica la definición. log x + log 4 = 2 ⟹ log (4x) = 2 ⟹ 4x = 100 ⟹ x = 25.
4. Inecuaciones
Se resuelven como las ecuaciones, con una regla extra: al multiplicar o dividir por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad. La solución es un intervalo o unión de intervalos.
Segundo grado: x² − x − 6 > 0
- Raíces de x² − x − 6 = 0: x = −2 y x = 3
- Estudiamos el signo en (−∞, −2), (−2, 3) y (3, +∞): +, −, +
- Solución: (−∞, −2) ∪ (3, +∞)
Racional: ≥ 0
- Puntos críticos: x = 1 (numerador) y x = −2 (denominador, siempre excluido)
- Signo: + en (−∞, −2), − en (−2, 1), + en (1, +∞)
- Solución: (−∞, −2) ∪ [1, +∞)
Recuerda
- El discriminante Δ = b² − 4ac decide el número de soluciones reales.
- Bicuadradas: cambio t = x²; exponenciales: igualar bases o tomar logaritmos.
- Comprueba siempre las soluciones de ecuaciones irracionales, racionales y logarítmicas.
- En una inecuación, multiplicar o dividir por un negativo invierte el sentido.
- Inecuaciones de segundo grado y racionales: raíces, tabla de signos, intervalos.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.