¿Sacan mejor nota quienes estudian más horas? ¿Influye la temperatura en el consumo eléctrico? Para responder, se estudian dos variables a la vez. La estadística bidimensional mide si existe una relación lineal entre ellas y permite hacer estimaciones con la recta de regresión.
Objetivos
- Organizar datos bidimensionales y dibujar la nube de puntos
- Calcular e interpretar la covarianza
- Calcular e interpretar el coeficiente de correlación de Pearson
- Obtener la recta de regresión de Y sobre X
- Hacer estimaciones y valorar su fiabilidad
1. Variables bidimensionales y nube de puntos
Una variable bidimensional (X, Y) asigna a cada individuo dos valores. Cada par (xᵢ, yᵢ) se representa como un punto: el conjunto es la nube de puntos o diagrama de dispersión.
- Si la nube se agrupa en torno a una recta creciente: correlación positiva.
- Si se agrupa en torno a una recta decreciente: correlación negativa.
- Si no muestra ninguna tendencia: correlación nula o muy débil.
2. Covarianza y coeficiente de correlación
x̄ =
σₓ² = − x̄²
σₓᵧ = − x̄ · ȳ
r = , con −1 ≤ r ≤ 1
| Valor de r | Interpretación |
|---|---|
| r = 1 o r = −1 | Dependencia lineal exacta (puntos alineados) |
| |r| próximo a 1 | Correlación fuerte |
| |r| en torno a 0,5 | Correlación débil o moderada |
| r próximo a 0 | Sin relación lineal |
3. Ejemplo completo
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| Medias | x̄ = 3, ȳ = 4 |
| Σxᵢyᵢ | 2 + 8 + 15 + 16 + 25 = 66 |
| Covarianza | − 3 · 4 = 1,2 |
| Varianzas | σₓ² = 11 − 9 = 2; σᵧ² = 17,2 − 16 = 1,2 |
| Correlación | r = ≈ 0,77 |
4. Recta de regresión y estimaciones
y − ȳ = · (x − x̄)
Con los datos del ejemplo
- Pendiente: = 0,6
- y − 4 = 0,6(x − 3) ⟹ y = 0,6x + 2,2
- Estimación para x = 6: y ≈ 5,8
Para estimar x a partir de y se usa la otra recta, la de X sobre Y: x − x̄ = (y − ȳ). Ambas rectas se cortan en (x̄, ȳ).
Recuerda
- La nube de puntos muestra el tipo de relación.
- σₓᵧ = − x̄ȳ; su signo es el de la correlación.
- r = está entre −1 y 1; |r| cerca de 1 = relación lineal fuerte.
- Recta de Y sobre X: y − ȳ = (x − x̄).
- Correlación no implica causalidad.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.