¿Sacan mejor nota quienes estudian más horas? ¿Gastan más las familias con más ingresos? La estadística bidimensional estudia dos variables a la vez en cada individuo, mide si están relacionadas (correlación) y permite hacer estimaciones con la recta de regresión.
Objetivos
- Organizar datos bidimensionales en tablas y nubes de puntos
- Calcular medias, varianzas y la covarianza
- Calcular e interpretar el coeficiente de correlación de Pearson
- Obtener la recta de regresión y hacer estimaciones
- Valorar la fiabilidad de una estimación y distinguir correlación de causalidad
1. Variables bidimensionales y nube de puntos
En cada individuo se observan dos variables (x, y). Los datos se recogen en una tabla simple o en una tabla de doble entrada (con frecuencias), y se representan con una nube de puntos (diagrama de dispersión). Las sumas de filas y columnas dan las distribuciones marginales.
| x | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| y | 4 | 5 | 7 | 8 |
Si los puntos se agrupan en torno a una recta creciente, la correlación es positiva; si la recta es decreciente, negativa; si no siguen ninguna recta, la correlación es nula o muy débil.
2. Covarianza y correlación
σxy = − x̄ · ȳ
r = , con −1 ≤ r ≤ 1
Horas de estudio y nota
- x̄ = 5 ; ȳ = 6 ; Σ xᵢyᵢ = 8 + 20 + 42 + 64 = 134
- σxy = − 5 · 6 = 3,5
- σx² = − 25 = 5 ; σy² = − 36 = 2,5
- r = = ≈ 0,99
Correlación positiva muy fuerte.
| Valor de r | Interpretación |
|---|---|
| Cerca de 1 | Dependencia lineal fuerte y directa |
| Cerca de −1 | Dependencia lineal fuerte e inversa |
| Cerca de 0 | Sin relación lineal |
| r = ±1 | Dependencia funcional: todos los puntos en una recta |
3. Recta de regresión y estimaciones
y − ȳ = · (x − x̄)
Estimar la nota con 7 horas de estudio
- Pendiente: = 0,7
- y − 6 = 0,7(x − 5) ⟹ y = 0,7x + 2,5
- x = 7 ⟹ y ≈ 7,4
Para estimar x a partir de y se usa la recta de regresión de x sobre y: x − x̄ = (y − ȳ). Las dos rectas solo coinciden si |r| = 1.
Recuerda
- Covarianza: σxy = − x̄ȳ; su signo da el sentido de la relación.
- r = , entre −1 y 1: cuanto más cerca de ±1, más fuerte.
- Recta de regresión de y sobre x: pendiente , pasa por (x̄, ȳ).
- Estimaciones fiables: |r| alto y sin alejarse del rango de los datos.
- Correlación no es causalidad.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.