Una función relaciona dos magnitudes de forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Las funciones sirven de modelo para fenómenos reales: el coste de un taxi (lineal), la trayectoria de un balón (cuadrática), el tiempo de un viaje según la velocidad (proporcionalidad inversa) o el crecimiento de una población (exponencial).
Objetivos
- Estudiar dominio, recorrido, cortes con los ejes, monotonía y extremos de una función
- Reconocer y representar funciones lineales y afines
- Representar una parábola calculando su vértice y sus cortes con los ejes
- Reconocer funciones de proporcionalidad inversa y exponenciales
1. Características de una función
- Dominio, Dom f: valores de x para los que existe f(x).
- Recorrido o imagen: valores que toma y.
- Cortes con los ejes: con el eje Y, x = 0; con el eje X, se resuelve f(x) = 0.
- Monotonía: intervalos donde la función crece o decrece.
- Extremos: máximos y mínimos relativos.
Dominio de f(x) = y de g(x) = √(x + 2)
- f: el denominador no puede ser 0 ⟹ Dom f = ℝ − {3}
- g: el radicando debe ser ≥ 0 ⟹ x ≥ −2 ⟹ Dom g = [−2, +∞)
2. Funciones lineales y afines
y = mx + n es una recta. m es la pendiente (cuánto sube y al aumentar x en 1) y n la ordenada en el origen (corte con el eje Y). Si n = 0, es de proporcionalidad directa.
m =
3. Funciones cuadráticas
y = ax² + bx + c (a ≠ 0) es una parábola. Si a > 0 se abre hacia arriba (tiene un mínimo); si a < 0, hacia abajo (tiene un máximo).
Vértice: xv = , yv = f(xv)
Representa y = x² − 4x + 3
- a = 1 > 0: abierta hacia arriba.
- Vértice: xv = = 2; yv = 4 − 8 + 3 = −1 ⟹ V(2, −1).
- Corte con eje Y: (0, 3).
- Cortes con eje X: x² − 4x + 3 = 0 ⟹ x = 1 y x = 3.
Decrece en (−∞, 2), crece en (2, +∞); mínimo en (2, −1).
4. Proporcionalidad inversa y exponenciales
Proporcionalidad inversa: y = (k ≠ 0). Su gráfica es una hipérbola con asíntotas en los ejes. Dom = ℝ − {0}. Ejemplo: tiempo de un viaje de 300 km según la velocidad: t = .
Función exponencial: y = aˣ con a > 0 y a ≠ 1. Pasa siempre por (0, 1), siempre es positiva y tiene una asíntota horizontal en y = 0. Si a > 1 es creciente; si 0 < a < 1, decreciente.
Una población de bacterias se duplica cada hora. Empieza con 100.
- N(t) = 100 · 2ᵗ
- Al cabo de 5 horas: N(5) = 100 · 32 = 3200
Recuerda
- Dominio: cuidado con denominadores (≠ 0) y raíces pares (radicando ≥ 0).
- Recta y = mx + n: m pendiente, n ordenada en el origen.
- Parábola: vértice en x = ; a > 0 mínimo, a < 0 máximo.
- y = : hipérbola. y = aˣ: pasa por (0, 1), asíntota y = 0.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.