La trayectoria de un balón, la forma de una antena parabólica o el área de un rectángulo cuando cambian sus lados se describen con funciones cuadráticas. Su gráfica es una curva simétrica llamada parábola. Aprenderás a obtener sus elementos y a dibujarla.
Objetivos
- Reconocer una función cuadrática y la orientación de su parábola
- Calcular el vértice y el eje de simetría
- Hallar los puntos de corte con los ejes
- Representar una parábola con una tabla de valores bien elegida
- Resolver problemas de máximos y mínimos
1. La función cuadrática
Función cuadrática: Función de la forma y = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Su gráfica es una parábola.
| Coeficiente a | Forma | El vértice es… |
|---|---|---|
| a > 0 | Abierta hacia arriba (∪) | un mínimo |
| a < 0 | Abierta hacia abajo (∩) | un máximo |
2. Vértice y eje de simetría
xv =
yv = f(xv)
Vértice de y = x² − 6x + 5
- a = 1, b = −6
- xv = = 3
- yv = 3² − 6 · 3 + 5 = −4
Vértice V(3, −4); eje de simetría x = 3; como a > 0, es un mínimo.
3. Cortes con los ejes
- Eje Y: x = 0, así que el punto es (0, c).
- Eje X: y = 0, se resuelve ax² + bx + c = 0. Puede haber 2, 1 o ningún punto de corte, según el discriminante.
Cortes de y = x² − 6x + 5
- Eje Y: (0, 5)
- Eje X: x² − 6x + 5 = 0; Δ = 36 − 20 = 16
- x = : x = 1 y x = 5
Corta al eje X en (1, 0) y (5, 0).
4. Representar una parábola
- Mirar el signo de a (orientación).
- Calcular el vértice y dibujar el eje de simetría.
- Calcular los cortes con los ejes.
- Completar con una tabla de valores simétrica alrededor de xv.
- Unir los puntos con una curva suave.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 |
5. Problemas de máximos y mínimos
Se lanza un balón y su altura, en metros, es h(t) = −5t² + 20t (t en segundos)
- a = −5 < 0: el vértice es un máximo
- tv = = 2 s
- h(2) = −20 + 40 = 20 m
- Cae al suelo cuando h = 0: −5t(t − 4) = 0 ⟹ t = 4 s
Altura máxima 20 m a los 2 s; vuelve al suelo a los 4 s.
Recuerda
- y = ax² + bx + c es una parábola: hacia arriba si a > 0, hacia abajo si a < 0.
- Vértice: xv = ; eje de simetría x = xv.
- Corte con el eje Y: (0, c). Cortes con el eje X: soluciones de ax² + bx + c = 0.
- El vértice da el valor máximo o mínimo de la función.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.