La geometría analítica traduce la geometría al lenguaje de los números: cada punto del plano tiene unas coordenadas y cada recta, una ecuación. Así, problemas como «¿se cortan estas dos calles?» o «¿a qué distancia están estos dos pueblos en el mapa?» se resuelven con cálculos sencillos.
Objetivos
- Calcular las coordenadas y el módulo de un vector
- Calcular el punto medio de un segmento y la distancia entre dos puntos
- Escribir la ecuación de una recta en sus distintas formas
- Reconocer rectas paralelas y perpendiculares por sus pendientes
1. Vectores
Vector AB: Si A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), el vector AB tiene coordenadas (x₂ − x₁, y₂ − y₁): «extremo menos origen».
|v| = √(v₁² + v₂²)
A(1, 2) y B(4, 6)
- AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4)
- |AB| = √(9 + 16) = √25 = 5
Operaciones: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y k · (a, b) = (ka, kb). Dos vectores son paralelos si sus coordenadas son proporcionales.
2. Punto medio y distancia
M = (, ) ; d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
A(−2, 1) y B(4, 9)
- M = (, ) = (1, 5)
- d = √(6² + 8²) = √100 = 10
3. Ecuaciones de la recta
| Forma | Ecuación | Datos |
|---|---|---|
| Vectorial | (x, y) = (x₁, y₁) + t · (v₁, v₂) | Punto y vector director |
| Paramétricas | x = x₁ + t·v₁ ; y = y₁ + t·v₂ | Punto y vector director |
| Continua | = | Punto y vector director |
| Punto-pendiente | y − y₁ = m(x − x₁) | Punto y pendiente |
| Explícita | y = mx + n | Pendiente y ordenada en el origen |
| General | Ax + By + C = 0 | — |
Recta que pasa por A(1, 3) y B(3, 7)
- Vector director AB = (2, 4) ⟹ m = = 2
- Punto-pendiente: y − 3 = 2(x − 1)
- Explícita: y = 2x + 1; general: 2x − y + 1 = 0
4. Posiciones relativas
- Paralelas: misma pendiente (m = m′) y distinta ordenada en el origen.
- Perpendiculares: m · m′ = −1, es decir, m′ = −.
- Secantes: pendientes distintas; el punto de corte se halla resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones.
Perpendicular a y = 2x + 1 por el punto (0, 4)
- m′ = −
- y = −x + 4
Recuerda
- Vector AB = B − A; módulo √(v₁² + v₂²).
- Punto medio: media de las coordenadas. Distancia: módulo del vector AB.
- Pendiente m = ; recta y − y₁ = m(x − x₁).
- Paralelas: m = m′. Perpendiculares: m · m′ = −1.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.