La geometría plana estudia las figuras y las relaciones entre ellas. En esta lección defines figuras como lugares geométricos, localizas los puntos notables de un triángulo y usas dos teoremas fundamentales: Tales, para figuras semejantes, y Pitágoras, para triángulos rectángulos.
Objetivos
- Definir mediatriz, bisectriz y circunferencia como lugares geométricos
- Reconocer los puntos notables de un triángulo
- Aplicar el teorema de Tales y la semejanza de triángulos
- Relacionar la razón de semejanza con perímetros, áreas y volúmenes
- Resolver problemas con el teorema de Pitágoras
1. Lugares geométricos
Lugar geométrico: Conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una misma propiedad.
| Lugar geométrico | Propiedad de sus puntos |
|---|---|
| Mediatriz del segmento AB | Equidistan de A y de B (es la perpendicular a AB por su punto medio) |
| Bisectriz de un ángulo | Equidistan de los dos lados del ángulo |
| Circunferencia de centro O y radio r | Están a distancia r de O |
2. Puntos notables del triángulo
| Punto | Se cortan las… | Propiedad |
|---|---|---|
| Circuncentro | mediatrices | Centro de la circunferencia circunscrita (pasa por los tres vértices) |
| Incentro | bisectrices | Centro de la circunferencia inscrita (tangente a los tres lados) |
| Baricentro | medianas | Centro de gravedad; está a doble distancia del vértice que del punto medio del lado opuesto |
| Ortocentro | alturas | Puede quedar fuera del triángulo si es obtusángulo |
3. Teorema de Tales y semejanza
Teorema de Tales: Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los determinados en la otra.
En un triángulo ABC, DE es paralelo a BC, con AD = 3, DB = 2 y AE = 4,5. Calcula EC
- Por Tales: =
- =
- EC = = 3
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma: ángulos iguales y lados proporcionales. El cociente entre lados correspondientes es la razón de semejanza k.
| Magnitud | Se multiplica por |
|---|---|
| Longitudes (lados, perímetros) | k |
| Áreas | k² |
| Volúmenes | k³ |
Medir un árbol con su sombra
- Un palo de 2 m da una sombra de 3 m; a la misma hora, un árbol da una sombra de 12 m
- Los triángulos palo-sombra y árbol-sombra son semejantes
- = ⟹ h = 8 m
4. Teorema de Pitágoras
a² = b² + c²
Altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm
- La altura divide la base en dos mitades de 5 cm
- h² + 5² = 10² ⟹ h² = 75
- h = √75 = 5√3 ≈ 8,66 cm
Recuerda
- Mediatriz: puntos que equidistan de dos puntos; bisectriz: de dos rectas.
- Circuncentro (mediatrices), incentro (bisectrices), baricentro (medianas), ortocentro (alturas).
- Tales: paralelas determinan segmentos proporcionales.
- Razón de semejanza k: longitudes × k, áreas × k², volúmenes × k³.
- Pitágoras: a² = b² + c² en triángulos rectángulos.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.