El límite describe a qué valor se acerca f(x) cuando x se aproxima a un número o crece sin parar. Es la idea que permite definir con precisión la continuidad, las asíntotas y, en la lección siguiente, la derivada.
Objetivos
- Calcular límites laterales y límites en un punto
- Calcular límites en el infinito de funciones polinómicas y racionales
- Resolver las indeterminaciones 0/0, ∞/∞ e ∞ − ∞
- Hallar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Estudiar la continuidad y clasificar las discontinuidades
1. Límite en un punto
Límite: limx→a f(x) = L significa que f(x) se acerca tanto como queramos a L cuando x se acerca a a (sin llegar a ser a). Existe si los dos límites laterales existen y coinciden.
Si la función está definida y es «elemental» cerca de a, basta con sustituir: limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10.
Límites laterales de f(x) = en x = 2
- Si x → 2⁺, x − 2 es positivo y muy pequeño: f(x) → +∞
- Si x → 2⁻, x − 2 es negativo y muy pequeño: f(x) → −∞
- Los laterales no coinciden: no existe el límite
2. Indeterminaciones
| Indeterminación | Estrategia |
|---|---|
| con polinomios | Factorizar y simplificar |
| con raíces | Multiplicar por el conjugado |
| (x → ±∞) | Comparar grados: dividir entre la mayor potencia |
| ∞ − ∞ con raíces | Multiplicar y dividir por el conjugado |
limx→3
- Sustituyendo:
- = x + 3
- Límite: 6
limx→+∞ (√(x² + 4x) − x)
- Multiplicamos y dividimos por √(x² + 4x) + x
- =
- Dividiendo entre x: → = 2
3. Asíntotas
- Vertical x = a: si limx→a f(x) = ±∞ (suelen estar en los ceros del denominador).
- Horizontal y = L: si limx→±∞ f(x) = L.
- Oblicua y = mx + n: con m = lim y n = lim (f(x) − mx). En una función racional aparece cuando el grado del numerador supera en 1 al del denominador.
Asíntotas de f(x) =
- Vertical: x = 1 (el denominador se anula y el numerador no)
- No hay horizontal: el grado del numerador es mayor
- Dividiendo: x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, luego f(x) = x + 1 +
- Oblicua: y = x + 1
4. Continuidad
Función continua en x = a: Se cumplen tres condiciones: existe f(a), existe limx→a f(x) y ambos coinciden.
| Discontinuidad | Qué ocurre | Ejemplo |
|---|---|---|
| Evitable | Existe el límite pero no coincide con f(a) o f(a) no existe | en x = 1 |
| De salto finito | Laterales finitos y distintos | en x = 0 |
| De salto infinito (asintótica) | Algún lateral es ±∞ | en x = 0 |
Valor de a para que f sea continua: f(x) = x + a si x < 2, f(x) = x² si x ≥ 2
- Límite por la izquierda: 2 + a
- Límite por la derecha y f(2): 4
- 2 + a = 4 ⟹ a = 2
Recuerda
- El límite existe si los laterales existen y coinciden.
- : factorizar o usar el conjugado; : comparar grados.
- Asíntota vertical: límite infinito en un punto; horizontal: límite finito en el infinito.
- Continua en a: f(a) = limx→a f(x).
- Discontinuidades: evitable, de salto finito y de salto infinito.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.