Una cuenta de ahorro, un préstamo para estudiar o la financiación de un móvil: detrás de cada producto financiero hay porcentajes e intereses. En esta lección aprendes a calcularlos y, sobre todo, a comparar ofertas con la TAE, para tomar decisiones informadas.
Objetivos
- Aplicar porcentajes y variaciones porcentuales encadenadas con el índice de variación
- Calcular el interés simple y el capital final
- Calcular el capital final en interés compuesto, con distintos periodos de capitalización
- Calcular e interpretar la TAE para comparar ofertas
- Plantear problemas de ahorro periódico y de cuota de un préstamo
1. Porcentajes e índice de variación
Aumentar un r % equivale a multiplicar por el índice de variación 1 + ; disminuir un r %, a multiplicar por 1 − . Varias variaciones seguidas se encadenan multiplicando sus índices.
Subir un 20 % y después bajar un 20 %
- Índice total: 1,20 · 0,80 = 0,96
- 0,96 = 1 − 0,04: el precio final es un 4 % menor que el inicial
Quitar el IVA (21 %) a un precio de 121 €
- Precio sin IVA · 1,21 = 121
- Precio sin IVA = = 100 €
2. Interés simple
En el interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial C y no se acumulan. Con un rédito anual r (en tanto por uno) durante t años:
I = C · r · t ; Cf = C · (1 + r · t)
6000 € al 5 % de interés simple durante 8 meses
- t = años
- I = 6000 · 0,05 · = 200 €
- Cf = 6200 €
3. Interés compuesto y TAE
En el interés compuesto los intereses de cada periodo se suman al capital y producen a su vez intereses. Si el tipo nominal anual r se capitaliza n veces al año durante t años:
Cf = C · (1 + )n · t
10 000 € al 6 % nominal anual con capitalización mensual durante 2 años
- Tipo mensual: = 0,005
- Número de periodos: 12 · 2 = 24
- Cf = 10 000 · 1,005²⁴ ≈ 11 271,60 €
TAE (tasa anual equivalente): Es el tipo de interés anual con capitalización anual que produce el mismo rendimiento: TAE = (1 + )ⁿ − 1. Permite comparar ofertas con distintas capitalizaciones; en los préstamos incluye además comisiones y gastos.
TAE de un 6 % nominal con capitalización mensual
- TAE = 1,005¹² − 1 ≈ 0,0617
- TAE ≈ 6,17 %: algo más que el 6 % nominal
4. Ahorro periódico y préstamos
Una anualidad es una cantidad fija a que se ingresa o se paga en cada periodo, a un tipo i por periodo. Las fórmulas proceden de sumar una progresión geométrica.
Cf = a · (1 + i) ·
a =
Préstamo de 10 000 € a devolver en 12 cuotas mensuales al 6 % nominal anual
- i = = 0,005 y n = 12
- a = ≈ ≈ 860,66 €
- Total pagado: 12 · 860,66 = 10 327,92 €; intereses ≈ 327,92 €
Recuerda
- Variaciones porcentuales encadenadas: se multiplican los índices de variación.
- Interés simple: I = C · r · t.
- Interés compuesto: Cf = C(1 + )n·t.
- TAE = (1 + )ⁿ − 1: sirve para comparar ofertas.
- Cuota de un préstamo: a = .
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.