Las encuestas electorales o los estudios de mercado no preguntan a toda la población: usan una muestra y, a partir de ella, estiman un parámetro (la media, la proporción) con un margen de error y un nivel de confianza. Es la inferencia estadística, presente en todos los exámenes de la PAU de Ciencias Sociales.
Objetivos
- Distinguir población, muestra, parámetro y estadístico, y los tipos de muestreo
- Conocer la distribución de la media muestral y de la proporción muestral
- Calcular intervalos de confianza para la media y para la proporción
- Calcular el error máximo admisible y el tamaño de muestra necesario
- Interpretar correctamente un intervalo de confianza
1. Población, muestra y tipos de muestreo
La población es el conjunto que se quiere estudiar; la muestra, la parte observada. Un parámetro describe la población (μ, σ, p) y un estadístico la muestra (x̄, p̂). Para que la muestra sea representativa debe elegirse al azar.
| Muestreo | Cómo se hace |
|---|---|
| Aleatorio simple | Todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos (sorteo) |
| Sistemático | Se elige un individuo al azar y luego uno de cada k |
| Estratificado | Se divide la población en estratos y se elige en cada uno; si es proporcional, según el peso de cada estrato |
| Por conglomerados | Se eligen al azar grupos completos (por ejemplo, aulas) |
Estratificado proporcional: muestra de 50 en un centro con 500 alumnos de ESO, 300 de Bachillerato y 200 de FP
- Fracción de muestreo: = 0,05
- ESO: 500 · 0,05 = 25 ; Bachillerato: 15 ; FP: 10
2. Distribuciones muestrales
X̄ ~ N(μ, )
p̂ ~ N(p, √())
μ = 50, σ = 10, n = 100. P(X̄ > 52)
- σX̄ = = 1
- z = = 2
- P(Z > 2) = 1 − 0,9772 = 0,0228
3. Intervalos de confianza
| Nivel de confianza 1 − α | 90 % | 95 % | 99 % |
|---|---|---|---|
| zα/2 | 1,645 | 1,96 | 2,575 |
(x̄ − zα/2 · , x̄ + zα/2 · )
(p̂ − zα/2 · √() , p̂ + zα/2 · √())
n = 100, x̄ = 50, σ = 10, confianza 95 %
- E = 1,96 · = 1,96
- Intervalo: (48,04 ; 51,96)
En una encuesta a 400 personas, 240 están a favor. Intervalo al 95 % para p
- p̂ = 0,6 ; √() ≈ 0,0245
- E = 1,96 · 0,0245 ≈ 0,048
- Intervalo: (0,552 ; 0,648)
4. Error y tamaño de la muestra
n ≥ ()²
σ = 10, error máximo 1, confianza 95 %
- n ≥ ()² = 384,16
- n = 385
- Si n aumenta, el error disminuye (para reducirlo a la mitad hay que cuadruplicar n).
- Si el nivel de confianza aumenta, zα/2 aumenta y el intervalo se hace más ancho.
- Para la proporción con p desconocida, se toma p̂ = 0,5 (caso más desfavorable).
Recuerda
- Muestreo aleatorio simple, sistemático, estratificado y por conglomerados.
- X̄ ~ N(μ, ); p̂ ~ N(p, √()).
- Intervalo: estimador ± zα/2 · desviación típica del estimador.
- zα/2: 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,575 (99 %).
- n ≥ ()², redondeando hacia arriba.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.