La ecuación x² + 1 = 0 no tiene solución real: ningún número real elevado al cuadrado da −1. Para resolverla se introduce la unidad imaginaria i, y con ella los números complejos, que se representan como puntos del plano y permiten resolver cualquier ecuación de segundo grado.
Objetivos
- Escribir un complejo en forma binómica y representarlo en el plano
- Sumar, restar, multiplicar y dividir complejos en forma binómica
- Calcular el módulo y el argumento de un complejo
- Pasar de forma binómica a polar y viceversa
- Multiplicar, dividir y elevar a potencias en forma polar
1. La unidad imaginaria y la forma binómica
Unidad imaginaria: Es el número i tal que i² = −1. Sus potencias se repiten de 4 en 4: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1…
Número complejo: z = a + bi, con a, b ∈ ℝ. a es la parte real y b la parte imaginaria. Si b = 0, z es real; si a = 0 (y b ≠ 0), es imaginario puro.
El complejo a + bi se representa como el punto (a, b) del plano: el eje horizontal es el eje real y el vertical, el eje imaginario. El conjugado de z = a + bi es z̄ = a − bi (simétrico respecto del eje real).
Resolver x² − 2x + 5 = 0
- Δ = 4 − 20 = −16
- √(−16) = 4i
- x = = 1 ± 2i
2. Operaciones en forma binómica
- Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
- Producto: se multiplica como un polinomio y se sustituye i² por −1.
- Cociente: se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Calcular (2 + i)(3 − i)
- = 6 − 2i + 3i − i²
- = 6 + i + 1
- = 7 + i
Calcular
- Multiplicamos por 1 + i:
- Numerador: 1 + i + 2i + 2i² = −1 + 3i; denominador: 1 + 1 = 2
- Resultado: − + i
3. Módulo, argumento y forma polar
|z| = r = √(a² + b²)
tg α =
En forma polar se escribe z = rα. Para volver a la forma binómica: a = r · cos α, b = r · sen α (forma trigonométrica z = r(cos α + i sen α)).
Pasar z = −1 + i a forma polar
- r = √(1 + 1) = √2
- tg α = −1 y el punto (−1, 1) está en el segundo cuadrante
- α = 135°, luego z = √2135°
4. Operaciones en forma polar
rα · sβ = (r · s)α + β
= ()α − β
(rα)ⁿ = (rⁿ)n · α
Calcular (1 + i)⁸
- 1 + i = √245°
- (√2)⁸ = 16 y 8 · 45° = 360°
- (1 + i)⁸ = 16360° = 16
Multiplicar por i = 190° equivale a girar 90° en sentido antihorario alrededor del origen.
Recuerda
- i² = −1; las potencias de i se repiten cada 4.
- z = a + bi se representa como el punto (a, b); su conjugado es a − bi.
- Para dividir, se multiplica por el conjugado del denominador.
- |z| = √(a² + b²); el argumento depende del cuadrante.
- En polar: los módulos se multiplican y los argumentos se suman.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.