Las fracciones y los decimales son dos maneras de escribir los mismos números: los números racionales. En esta lección repasas cómo operar con fracciones, aprendes a pasar de un decimal periódico a fracción y descubres los números que no se pueden escribir como fracción: los irracionales.
Objetivos
- Simplificar fracciones y reconocer fracciones equivalentes
- Resolver operaciones combinadas con fracciones respetando la jerarquía
- Clasificar los números decimales: exactos, periódicos puros y periódicos mixtos
- Calcular la fracción generatriz de un decimal exacto o periódico
- Distinguir números racionales e irracionales dentro de los números reales
1. Fracciones equivalentes y operaciones
Número racional: Es todo número que se puede escribir como una fracción con a y b enteros y b ≠ 0. El conjunto de los racionales se representa con la letra ℚ.
Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número: = cuando a · d = b · c. Para simplificar, se dividen numerador y denominador por su máximo común divisor. Por ejemplo, = (dividiendo entre 6).
| Operación | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Suma y resta | Se reduce a común denominador (m.c.m.) | + = + = |
| Multiplicación | Numerador por numerador, denominador por denominador | · = = |
| División | Se multiplica por la inversa | : = · = = |
Operación combinada: 1 − · ( + )
- Primero el paréntesis: + = + =
- Después la multiplicación: · = =
- Por último la resta: 1 − =
El resultado es .
2. Expresión decimal de un número racional
Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene su expresión decimal. Solo hay tres posibilidades:
| Tipo | Características | Ejemplo |
|---|---|---|
| Decimal exacto | Tiene un número finito de cifras decimales | = 0,75 |
| Periódico puro | El periodo empieza justo después de la coma | = 0,333… = 0,3̂ |
| Periódico mixto | Hay cifras (anteperiodo) antes del periodo | = 0,1666… = 0,16̂ |
3. Fracción generatriz
La fracción generatriz de un decimal es la fracción irreducible que lo produce. Todo decimal exacto o periódico tiene fracción generatriz, por eso es racional.
Exacto: 1,25 = =
Periódico puro: 0,777… =
Periódico mixto: 0,1666… = = =
Fracción generatriz de 2,4545…
- Es periódico puro con periodo 45 (dos cifras): denominador 99.
- Número sin coma hasta el final del primer periodo: 245; parte entera: 2.
- Numerador: 245 − 2 = 243, así que 2,4545… =
- Simplificamos entre 9: =
2,4545… =
Método algebraico para 0,777…
- Llamamos x = 0,777…
- Multiplicamos por 10: 10x = 7,777…
- Restamos: 10x − x = 7,777… − 0,777…, es decir, 9x = 7
- x =
4. Números irracionales y números reales
Número irracional: Es un número cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas, por lo que no se puede escribir como fracción. Ejemplos: √2 = 1,41421…, √3, π = 3,14159…
Los racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales, ℝ. Se cumple ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cada número real corresponde a un punto de la recta numérica.
Recuerda
- Un número es racional si se puede escribir como fracción de enteros.
- Las operaciones con fracciones siguen la jerarquía: paréntesis, potencias, multiplicación y división, suma y resta.
- Los decimales exactos y periódicos son racionales y tienen fracción generatriz.
- Los irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas: √2, π…
- Racionales e irracionales forman los números reales ℝ.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.