Los números reales son la base de todo el curso: con ellos describimos longitudes, magnitudes y funciones. En esta lección repasas los conjuntos numéricos y aprendes a manejar con soltura intervalos, valor absoluto, radicales y logaritmos, herramientas que usarás en el resto de Matemáticas I.
Objetivos
- Clasificar un número en ℕ, ℤ, ℚ o ℝ y reconocer los irracionales
- Representar conjuntos de números con intervalos y con valor absoluto
- Operar con radicales: simplificar, sumar y racionalizar
- Calcular logaritmos y aplicar sus propiedades
- Estimar el error absoluto y relativo de una aproximación
1. Los conjuntos numéricos
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Número racional: Es el que puede escribirse como fracción con a, b enteros y b ≠ 0. Su expresión decimal es exacta o periódica.
Número irracional: Es un número real que no es racional: su expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Ejemplos: √2, √5, π, e.
2. Intervalos y valor absoluto
| Intervalo | Desigualdad | Nombre |
|---|---|---|
| (a, b) | a < x < b | abierto |
| [a, b] | a ≤ x ≤ b | cerrado |
| [a, b) | a ≤ x < b | semiabierto |
| (a, +∞) | x > a | semirrecta abierta |
| (−∞, b] | x ≤ b | semirrecta cerrada |
Valor absoluto: |x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0. Representa la distancia de x al 0; |x − a| es la distancia entre x y a.
|x − a| < r ⟺ a − r < x < a + r ⟺ x ∈ (a − r, a + r)
Resolver |x − 3| ≤ 2
- La distancia de x a 3 es como mucho 2.
- −2 ≤ x − 3 ≤ 2
- 1 ≤ x ≤ 5
x ∈ [1, 5]
3. Radicales
ⁿ√a = a1/n
ⁿ√(am) = am/n
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a · b)
Simplificar y sumar: √50 + √18
- √50 = √(25 · 2) = 5√2
- √18 = √(9 · 2) = 3√2
- Son radicales semejantes: 5√2 + 3√2 = 8√2
8√2
Racionalizar
- Multiplicamos numerador y denominador por √3.
- = 2√3
2√3
4. Logaritmos
Logaritmo en base a: Para a > 0, a ≠ 1 y x > 0: loga x = y ⟺ ay = x. Escribimos log x para la base 10 y ln x para la base e.
loga (x · y) = loga x + loga y
loga (x / y) = loga x − loga y
loga (xn) = n · loga x
loga x =
Calcular log₂ 32 y log₃
- 2⁵ = 32, luego log₂ 32 = 5.
- 3−2 = , luego log₃ = −2.
5. Aproximaciones y errores
Error absoluto y relativo: Error absoluto: Eₐ = |valor real − aproximación|. Error relativo: Eᵣ = , que suele darse en porcentaje.
Aproximar π por 3,14
- Eₐ = |3,14159… − 3,14| ≈ 0,0016
- Eᵣ ≈ ≈ 0,0005
- Es decir, un 0,05 % aproximadamente.
Recuerda
- ℝ está formado por los racionales (decimales exactos o periódicos) y los irracionales.
- |x − a| < r significa que x está a menos de r unidades de a: x ∈ (a − r, a + r).
- Un radical es una potencia de exponente fraccionario: ⁿ√(am) = am/n.
- loga x = y ⟺ ay = x; el logaritmo convierte productos en sumas.
- El error relativo permite comparar la calidad de dos aproximaciones.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.