Hasta ahora has trabajado con números naturales, enteros y fracciones. Pero hay números, como √2 o π, que no se pueden escribir como fracción. Junto con los racionales forman los números reales, que llenan por completo la recta numérica. En esta lección aprenderás a clasificarlos, a describir conjuntos de reales con intervalos y a medir lo buena que es una aproximación.
Objetivos
- Clasificar un número como natural, entero, racional o irracional
- Representar intervalos y semirrectas en la recta real y escribirlos con su notación
- Calcular el valor absoluto de un número y resolver |x| ≤ k
- Redondear y truncar, y calcular los errores absoluto y relativo de una aproximación
1. Racionales e irracionales
Número racional: Es el que se puede escribir como fracción con a y b enteros y b ≠ 0. Su expresión decimal es exacta o periódica (pura o mixta). El conjunto se llama ℚ.
Número irracional: Es el que tiene infinitas cifras decimales no periódicas: no se puede escribir como fracción. Ejemplos: √2 = 1,41421…, √5, π = 3,14159…, el número de oro Φ = ≈ 1,618 o 0,101001000100001…
Los racionales y los irracionales juntos forman el conjunto de los números reales, ℝ. Se cumple: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Clasifica: −3 ; 2,1777… ; √16 ; √12 ;
- −3 es entero (y por tanto racional).
- 2,1777… es periódico mixto: es racional.
- √16 = 4 es natural.
- √12 no es exacta (12 no es cuadrado perfecto): es irracional.
- = 1,75 es racional (decimal exacto).
2. Intervalos y semirrectas
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos extremos. El corchete [ indica que el extremo se incluye; el paréntesis ( indica que no se incluye (en la recta: punto relleno o punto hueco).
| Nombre | Notación | Desigualdad |
|---|---|---|
| Intervalo abierto | (a, b) | a < x < b |
| Intervalo cerrado | [a, b] | a ≤ x ≤ b |
| Semiabierto | [a, b) o (a, b] | a ≤ x < b o a < x ≤ b |
| Semirrecta | (a, +∞) o [a, +∞) | x > a o x ≥ a |
| Semirrecta | (−∞, b) o (−∞, b] | x < b o x ≤ b |
Escribe como intervalo: −2 < x ≤ 5
- −2 no está incluido: paréntesis.
- 5 sí está incluido: corchete.
(−2, 5]
3. Valor absoluto
Valor absoluto: |a| es la distancia de a al 0 en la recta real. Es a si a ≥ 0 y −a si a < 0. Por ejemplo, |−7| = 7 y |3| = 3.
Como es una distancia, |x − c| ≤ r significa «x está a distancia r o menos de c», es decir, x ∈ [c − r, c + r].
Resuelve |x − 1| < 3
- Los x que están a menos de 3 unidades de 1.
- 1 − 3 = −2 y 1 + 3 = 4.
x ∈ (−2, 4)
4. Aproximaciones y errores
- Truncar a un orden: se eliminan las cifras siguientes. π truncado a las centésimas: 3,14.
- Redondear: si la primera cifra eliminada es 5 o mayor, se suma 1 a la última cifra que se conserva. 2,346 redondeado a las centésimas: 2,35.
Error absoluto: Ea = |valor real − aproximación|
Error relativo: Er =
Aproximamos 2,346 por 2,35
- Ea = |2,346 − 2,35| = 0,004
- Er = ≈ 0,0017, es decir, un 0,17 %
Recuerda
- ℝ = racionales (decimal exacto o periódico) + irracionales (decimal infinito no periódico).
- Corchete: el extremo se incluye; paréntesis: no se incluye. En ±∞, siempre paréntesis.
- |x − c| ≤ r ⟺ x ∈ [c − r, c + r].
- Ea = |real − aproximación| y Er = Ea ÷ |real|.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.