En Ciencias Sociales trabajarás con precios, poblaciones, tipos de interés o índices: casi siempre con números reales y con aproximaciones. En esta lección repasas los conjuntos numéricos, aprendes a describir conjuntos de números con intervalos, a operar con potencias y radicales y a usar logaritmos, la herramienta que necesitarás para despejar el tiempo en los problemas de interés compuesto.
Objetivos
- Clasificar números en naturales, enteros, racionales e irracionales
- Representar conjuntos de números reales con intervalos y valor absoluto
- Operar con potencias de exponente fraccionario y con radicales
- Calcular logaritmos y aplicar sus propiedades
- Usar la notación científica y medir errores de aproximación
1. Conjuntos numéricos e intervalos
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Los racionales se escriben como fracción y tienen expresión decimal exacta o periódica. Los irracionales (√2, π, e) tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Racionales e irracionales forman los reales ℝ, que llenan la recta.
| Nombre | Notación | Desigualdad |
|---|---|---|
| Abierto | (a, b) | a < x < b |
| Cerrado | [a, b] | a ≤ x ≤ b |
| Semiabierto | [a, b) o (a, b] | a ≤ x < b o a < x ≤ b |
| Semirrecta | (a, +∞) o (−∞, b] | x > a o x ≤ b |
Valor absoluto: |x| es la distancia de x al 0: |x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0. Además, |x − a| < r significa que x está a menos de r de a: x ∈ (a − r, a + r).
Escribir |x − 3| ≤ 2 como intervalo
- Distancia de x a 3 menor o igual que 2
- −2 ≤ x − 3 ≤ 2 ⟹ 1 ≤ x ≤ 5
- x ∈ [1, 5]
2. Potencias y radicales
aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ ; aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ ; (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ ; a−n = ; am/n = ⁿ√aᵐ
Sumar radicales: √12 + √27
- √12 = √(4 · 3) = 2√3
- √27 = √(9 · 3) = 3√3
- √12 + √27 = 5√3
Racionalizar
- Multiplicamos numerador y denominador por √3
- = 2√3
3. Logaritmos
Logaritmo: Si a > 0, a ≠ 1 y x > 0: loga x = y ⟺ ay = x. El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base. log x es el decimal (base 10) y ln x el neperiano (base e).
- loga (x · y) = loga x + loga y
- loga () = loga x − loga y
- loga (xⁿ) = n · loga x
- Cambio de base: loga x =
Calcular log2 32 y log 0,001
- 2⁵ = 32 ⟹ log2 32 = 5
- 10−3 = 0,001 ⟹ log 0,001 = −3
4. Notación científica y errores
Un número en notación científica es a · 10ⁿ con 1 ≤ |a| < 10. Ejemplo: 0,00052 = 5,2 · 10−4; 3 400 000 = 3,4 · 10⁶.
Error absoluto y relativo: Error absoluto = |valor real − aproximación|. Error relativo = ; suele darse en porcentaje y permite comparar la calidad de dos aproximaciones.
Aproximar por 0,67
- Error absoluto = |0,6666… − 0,67| ≈ 0,0033
- Error relativo ≈ ≈ 0,005 = 0,5 %
Recuerda
- ℝ está formado por racionales (decimal exacto o periódico) e irracionales.
- |x − a| < r ⟺ x ∈ (a − r, a + r).
- am/n = ⁿ√aᵐ; solo se suman radicales semejantes.
- loga x = y ⟺ ay = x; el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos.
- Error relativo = error absoluto dividido entre el valor real.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.