El álgebra permite trabajar con números desconocidos o generales usando letras. Los polinomios son las expresiones algebraicas más usadas: aprenderás a operarlos, a desarrollar las identidades notables y a factorizar, una herramienta clave para resolver ecuaciones.
Objetivos
- Reconocer monomios y polinomios, su coeficiente y su grado
- Calcular el valor numérico de un polinomio
- Sumar, restar y multiplicar polinomios
- Desarrollar las identidades notables
- Factorizar sacando factor común y reconociendo identidades notables
1. Monomios y polinomios
Monomio: Producto de un número (coeficiente) por letras con exponente natural (parte literal). En −5x²y³ el coeficiente es −5, la parte literal x²y³ y el grado es 2 + 3 = 5.
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (3x² y −7x²). Solo los monomios semejantes se pueden sumar: 3x² − 7x² = −4x².
Polinomio: Suma de monomios no semejantes. Su grado es el mayor grado de sus términos. P(x) = 3x⁴ − 2x² + 5 tiene grado 4 y término independiente 5.
Valor numérico de P(x) = 2x² − 3x + 1 para x = −2
- Sustituimos x por (−2), siempre entre paréntesis.
- P(−2) = 2 · (−2)² − 3 · (−2) + 1
- = 2 · 4 + 6 + 1 = 15
P(−2) = 15
2. Operaciones con polinomios
Suma: (3x² − 2x + 1) + (x² + 5x − 4)
- Agrupamos los términos semejantes.
- (3x² + x²) + (−2x + 5x) + (1 − 4)
- = 4x² + 3x − 3
Producto: (x + 2)(x − 3)
- Cada término del primero multiplica a cada término del segundo.
- x · x + x · (−3) + 2 · x + 2 · (−3)
- = x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6
3. Identidades notables
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Desarrollar (2x − 1)²
- a = 2x, b = 1
- a² = 4x², 2ab = 2 · 2x · 1 = 4x, b² = 1
- (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1
4. Factorizar
Factorizar es escribir un polinomio como producto. Es el camino inverso de desarrollar.
| Método | Ejemplo |
|---|---|
| Sacar factor común | 4x³ − 6x² = 2x²(2x − 3) |
| Diferencia de cuadrados | x² − 9 = (x + 3)(x − 3) |
| Trinomio cuadrado perfecto | x² − 4x + 4 = (x − 2)² |
Factorizar completamente 2x³ − 8x
- Factor común 2x: 2x³ − 8x = 2x(x² − 4)
- Diferencia de cuadrados: x² − 4 = (x + 2)(x − 2)
- 2x³ − 8x = 2x(x + 2)(x − 2)
Recuerda
- El grado de un polinomio es el mayor grado de sus monomios.
- Solo se suman o restan monomios semejantes.
- (a ± b)² = a² ± 2ab + b² y (a + b)(a − b) = a² − b².
- Para factorizar: primero factor común, después identidades notables.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.