Los polinomios son las expresiones algebraicas más habituales: describen áreas, trayectorias o beneficios. Saber dividirlos y sobre todo factorizarlos (escribirlos como producto) es la herramienta clave para resolver ecuaciones de grado mayor que 2 y simplificar fracciones algebraicas.
Objetivos
- Sumar, restar y multiplicar polinomios y usar las identidades notables
- Dividir un polinomio entre x − a con la regla de Ruffini
- Aplicar el teorema del resto y el teorema del factor
- Factorizar un polinomio con sacar factor común, identidades notables y raíces enteras
1. Operaciones e identidades notables
Un polinomio en x es una suma de monomios: P(x) = 2x³ − 5x + 1 tiene grado 3, coeficiente principal 2 y término independiente 1. Para sumar se agrupan términos semejantes; para multiplicar se aplica la propiedad distributiva.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Desarrolla (2x − 3)²
- a = 2x, b = 3
- (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3²
4x² − 12x + 9
2. La regla de Ruffini
Para dividir P(x) entre (x − a) se usa la regla de Ruffini: se escriben los coeficientes (con 0 si falta algún grado), se baja el primero, se multiplica por a, se suma con el siguiente, y así sucesivamente. El último número es el resto.
Divide P(x) = x³ − 4x² + x + 6 entre (x − 2)
- Coeficientes: 1, −4, 1, 6; a = 2.
- Bajamos 1. 1 · 2 = 2 → −4 + 2 = −2.
- −2 · 2 = −4 → 1 − 4 = −3.
- −3 · 2 = −6 → 6 − 6 = 0.
Cociente x² − 2x − 3, resto 0.
3. Teorema del resto y raíces
Teorema del resto: El resto de dividir P(x) entre (x − a) es igual a P(a).
Raíz de un polinomio: a es raíz de P si P(a) = 0. Entonces (x − a) es un factor de P(x): P(x) = (x − a) · C(x).
4. Factorizar un polinomio
- Saca factor común si es posible (por ejemplo, una x).
- Reconoce identidades notables: x² − 9 = (x + 3)(x − 3).
- Busca raíces enteras con Ruffini entre los divisores del término independiente.
- Cuando quede un polinomio de grado 2, resuelve la ecuación de 2.º grado.
Factoriza x³ − 4x² + x + 6
- Con Ruffini por x = 2: x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3).
- x² − 2x − 3 = 0 tiene soluciones x = 3 y x = −1.
(x − 2)(x − 3)(x + 1)
Recuerda
- Identidades notables: (a ± b)² y (a + b)(a − b) = a² − b².
- Ruffini divide entre x − a; ojo con el signo de a.
- Teorema del resto: el resto de P(x) : (x − a) es P(a).
- a es raíz ⟺ (x − a) es factor. Raíces enteras: divisores del término independiente.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.