Los radicales (raíces cuadradas, cúbicas…) aparecen en geometría, en física y en muchas ecuaciones. En esta lección verás que un radical es en realidad una potencia de exponente fraccionario, lo que permite operar con él usando las propiedades de las potencias que ya conoces.
Objetivos
- Aplicar las propiedades de las potencias de exponente entero
- Pasar de radical a potencia de exponente fraccionario y al revés
- Simplificar radicales extrayendo factores y operar con ellos
- Racionalizar denominadores sencillos
1. Propiedades de las potencias
| Propiedad | Ejemplo |
|---|---|
| aⁿ · aᵐ = an+m | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| aⁿ : aᵐ = an−m | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| (aⁿ)ᵐ = an·m | (3²)³ = 3⁶ |
| (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ |
| a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| a−n = | 2−3 = |
2. Radicales y exponentes fraccionarios
Raíz n-ésima: ⁿ√a = b significa que bⁿ = a. n es el índice y a el radicando. Si n es par, a debe ser ≥ 0 (en ℝ).
ⁿ√(aᵐ) = am/n
Ejemplos
- √5 = 51/2
- ³√(x²) = x2/3
- 82/3 = (³√8)² = 2² = 4
Dos radicales son equivalentes si representan la misma potencia: ⁴√9 = 91/4 = 32/4 = 31/2 = √3.
3. Extraer factores y operar
Simplifica √72
- Factorizamos: 72 = 2³ · 3² = 2² · 2 · 3²
- √72 = 2 · 3 · √2
√72 = 6√2
- Producto y cociente (mismo índice): √a · √b = √(a · b) y √a : √b = √(a : b).
- Suma y resta: solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando): 3√2 + 5√2 = 8√2.
- Para sumar √12 + √27, primero se simplifican: 2√3 + 3√3 = 5√3.
4. Racionalizar
Racionalizar es transformar una fracción para que no haya raíces en el denominador.
Caso 1:
- Multiplicamos arriba y abajo por √3.
- = 2√3
Caso 2: (binomio)
- Multiplicamos por el conjugado √5 + 1.
- Denominador: (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4
- = √5 + 1
Recuerda
- a−n = y a⁰ = 1.
- ⁿ√(aᵐ) = am/n: los radicales son potencias.
- Solo se suman radicales semejantes; antes conviene simplificarlos.
- Para racionalizar: multiplica por la raíz o por el conjugado.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.