Las potencias permiten escribir de forma compacta productos repetidos y números enormes o diminutos, como la distancia a una estrella o el tamaño de una célula. En esta lección amplías las potencias a exponentes negativos, usas la notación científica y trabajas con raíces.
Objetivos
- Calcular potencias de exponente entero, también negativo
- Aplicar las propiedades de las potencias para simplificar expresiones
- Escribir y operar números en notación científica
- Calcular raíces y extraer factores de un radical
- Sumar y restar radicales semejantes
1. Potencias de exponente entero
Potencia: aⁿ = a · a · … · a (n factores). La base es a y el exponente, n. Por convenio, a⁰ = 1 (si a ≠ 0) y a¹ = a.
a−n =
()−n = ()ⁿ
Calcular 2−3 y ()−2
- 2−3 = = = 0,125
- ()−2 = ()² =
2. Propiedades de las potencias
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | aᵐ · aⁿ = am+n | 5³ · 5−1 = 5² = 25 |
| Cociente de igual base | aᵐ : aⁿ = am−n | 7⁵ : 7³ = 7² |
| Potencia de una potencia | (aᵐ)ⁿ = am·n | (3²)³ = 3⁶ |
| Potencia de un producto | (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ |
| Potencia de un cociente | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | ()² = |
Simplificar
- Escribimos todo en base 2: 4 = 2² y 8 = 2³
- 2³ · 2−2 = 2¹
- 8−2 = 2−6
- 2¹ : 2−6 = 21+6 = 2⁷ = 128
3. Notación científica
Notación científica: Un número está en notación científica si se escribe como a · 10ⁿ, con 1 ≤ a < 10 (una sola cifra entera distinta de cero) y n entero.
| Número | Notación científica |
|---|---|
| 45 000 000 | 4,5 · 10⁷ |
| 150 000 000 km (Tierra–Sol, aprox.) | 1,5 · 10⁸ km |
| 0,00032 | 3,2 · 10−4 |
Operar: (2 · 10⁵) · (3 · 10−2) y (6 · 10⁸) : (2 · 10³)
- Producto: se multiplican las mantisas y se suman los exponentes: 6 · 10³
- Cociente: se dividen las mantisas y se restan los exponentes: 3 · 10⁵
4. Raíces y radicales
Raíz n-ésima: La raíz n-ésima de a es el número b tal que bⁿ = a. Con índice par, solo existe para a ≥ 0 (√9 = 3). Con índice impar existe siempre: ∛(−27) = −3, porque (−3)³ = −27.
Extraer factores: √12 y √50
- √12 = √(4 · 3) = √4 · √3 = 2√3
- √50 = √(25 · 2) = 5√2
Sumar radicales semejantes: √18 + √32 − √2
- √18 = 3√2 y √32 = 4√2
- 3√2 + 4√2 − √2 = 6√2
Recuerda
- a−n = y a⁰ = 1.
- Igual base: en el producto se suman los exponentes; en el cociente, se restan.
- Notación científica: a · 10ⁿ con 1 ≤ a < 10.
- Solo se suman radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando).
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.