La probabilidad cuantifica la incertidumbre: la de que llueva, la de que un test médico acierte o la de ganar un juego. En esta lección formalizas las operaciones con sucesos, cuentas casos con técnicas de recuento y estudias cómo cambia una probabilidad cuando se dispone de información (probabilidad condicionada).
Objetivos
- Describir el espacio muestral y operar con sucesos
- Aplicar la regla de Laplace y las propiedades de la probabilidad
- Contar casos con variaciones, permutaciones y combinaciones
- Calcular probabilidades condicionadas con tablas y árboles
- Reconocer sucesos independientes y aplicar la probabilidad total
1. Sucesos y regla de Laplace
Espacio muestral: Es el conjunto E de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Un suceso es un subconjunto de E.
| Operación | Notación | Significado |
|---|---|---|
| Unión | A ∪ B | Ocurre A o B (o ambos) |
| Intersección | A ∩ B | Ocurren A y B a la vez |
| Contrario | Ā | No ocurre A |
| Incompatibles | A ∩ B = ∅ | No pueden ocurrir a la vez |
P(A) =
P(Ā) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
2. Técnicas de recuento
| ¿Importa el orden? | ¿Se usan todos? | Fórmula |
|---|---|---|
| Sí | No (se eligen k de n) | Variaciones: Vn,k = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) |
| Sí | Sí | Permutaciones: Pₙ = n! |
| No | No | Combinaciones: Cn,k = |
Elegir 2 delegados entre 5 personas
- No importa el orden: combinaciones
- C5,2 = = 10
Comité de 3 entre 6 chicas y 4 chicos: P(exactamente 2 chicas)
- Casos posibles: C10,3 = 120
- Favorables: C6,2 · C4,1 = 15 · 4 = 60
- P = = 0,5
3. Probabilidad condicionada e independencia
P(A | B) =
| Federado | No federado | Total | |
|---|---|---|---|
| Chica | 30 | 30 | 60 |
| Chico | 10 | 30 | 40 |
| Total | 40 | 60 | 100 |
P(chica | federado)
- Nos restringimos a los 40 federados
- De ellos, 30 son chicas
- P = = 0,75
Sucesos independientes: A y B son independientes si saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro: P(A | B) = P(A), o equivalentemente P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
4. Diagramas de árbol y probabilidad total
En un experimento compuesto, la probabilidad de un camino del árbol es el producto de las probabilidades de sus ramas. La probabilidad de un suceso es la suma de las de todos los caminos que llevan a él.
Dos máquinas: A fabrica el 60 % de las piezas (2 % defectuosas) y B el 40 % (5 % defectuosas)
- Camino A y defectuosa: 0,6 · 0,02 = 0,012
- Camino B y defectuosa: 0,4 · 0,05 = 0,02
- P(defectuosa) = 0,012 + 0,02 = 0,032
Si se sabe que una pieza es defectuosa, la probabilidad de que venga de A es P(A | D) = = 0,375 (es la idea del teorema de Bayes: el camino que interesa entre el total).
Recuerda
- Laplace: favorables entre posibles, solo con resultados equiprobables.
- P(Ā) = 1 − P(A); P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- Orden importa: variaciones o permutaciones; no importa: combinaciones.
- P(A | B) = ; independientes ⟺ P(A ∩ B) = P(A)P(B).
- Árbol: se multiplica a lo largo de un camino y se suman los caminos.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.