Las encuestas, los seguros o las pruebas diagnósticas se basan en la probabilidad. En esta lección aprendes a calcular probabilidades con tablas de contingencia y diagramas de árbol, y a actualizar una probabilidad cuando se conoce nueva información (probabilidad condicionada y teorema de Bayes).
Objetivos
- Operar con sucesos y aplicar la regla de Laplace
- Usar las propiedades de la probabilidad (complementario, unión)
- Calcular probabilidades condicionadas con tablas de contingencia
- Reconocer sucesos independientes
- Resolver problemas con diagramas de árbol, probabilidad total y Bayes
1. Sucesos y regla de Laplace
El espacio muestral E es el conjunto de resultados posibles. Un suceso es un subconjunto de E. Operaciones: unión A ∪ B (ocurre A o B), intersección A ∩ B (ocurren ambos), contrario Ā (no ocurre A). A y B son incompatibles si A ∩ B = ∅.
P(A) =
- P(Ā) = 1 − P(A)
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Leyes de De Morgan: P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)
2. Probabilidad condicionada e independencia
P(A | B) = ; P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B)
| Hace deporte | No hace deporte | Total | |
|---|---|---|---|
| Chicas | 80 | 40 | 120 |
| Chicos | 50 | 30 | 80 |
| Total | 130 | 70 | 200 |
Leer la tabla
- P(deporte) = = 0,65
- P(deporte | chica) = ≈ 0,67
- P(chica | deporte) = ≈ 0,62
Sucesos independientes: A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B), es decir, si P(A | B) = P(A): saber que ha ocurrido B no cambia la probabilidad de A.
3. Diagramas de árbol, probabilidad total y Bayes
En un diagrama de árbol se multiplican las probabilidades a lo largo de cada rama y se suman las de las ramas que llevan al mismo suceso. Si A₁, …, Aₙ son incompatibles y cubren todo E (sistema completo):
P(B) = P(A₁) · P(B | A₁) + … + P(Aₙ) · P(B | Aₙ)
P(Aᵢ | B) =
Dos fábricas: A produce el 60 % (2 % defectuosas) y B el 40 % (5 % defectuosas)
- P(D) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032
- P(A | D) = = 0,375
Una pieza defectuosa procede de A con probabilidad 0,375.
Recuerda
- Laplace: favorables entre posibles, con resultados equiprobables.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(Ā) = 1 − P(A).
- P(A | B) = .
- Independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Probabilidad total: sumar ramas; Bayes: una rama entre el total.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.