En la PAU, el ejercicio de probabilidad suele dar algunas probabilidades (de A, de B, de su unión o intersección) o una situación en varias etapas, y pide calcular otras. La clave es traducir el enunciado a notación de sucesos y elegir la herramienta: propiedades, tabla de contingencia o diagrama de árbol.
Objetivos
- Traducir enunciados a operaciones con sucesos
- Aplicar las propiedades de la probabilidad y las leyes de De Morgan
- Construir y leer tablas de contingencia
- Estudiar la independencia de dos sucesos
- Resolver problemas con probabilidad total y teorema de Bayes
1. Álgebra de sucesos
| Enunciado | Suceso |
|---|---|
| Ocurre A o B (al menos uno) | A ∪ B |
| Ocurren A y B | A ∩ B |
| Ocurre A pero no B | A ∩ B̄ |
| No ocurre ninguno | Ā ∩ B̄ (es el contrario de A ∪ B) |
| Ocurre exactamente uno | (A ∩ B̄) ∪ (Ā ∩ B) |
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B)
- De Morgan: P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B) ; P(Ā ∪ B̄) = 1 − P(A ∩ B)
P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 y P(A ∪ B) = 0,8
- P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 − 0,8 = 0,3
- P(Ā ∩ B̄) = 1 − 0,8 = 0,2
- P(A | B) = = 0,6 = P(A): A y B son independientes
2. Tablas de contingencia e independencia
| Usa TP | No usa TP | Total | |
|---|---|---|---|
| Mujeres | 180 | 80 | 260 |
| Hombres | 120 | 120 | 240 |
| Total | 300 | 200 | 500 |
¿Es independiente usar el transporte público del sexo?
- P(TP) = = 0,6
- P(TP | mujer) = ≈ 0,69
- 0,69 ≠ 0,6: los sucesos son dependientes
Si A y B son independientes, también lo son Ā y B, A y B̄, y Ā y B̄.
3. Probabilidad total y Bayes
P(B) = Σ P(Aᵢ) · P(B | Aᵢ) ; P(Aᵢ | B) =
Una fábrica tiene tres turnos: mañana (50 % de la producción, 1 % de errores), tarde (30 %, 2 %) y noche (20 %, 5 %)
- P(E) = 0,5 · 0,01 + 0,3 · 0,02 + 0,2 · 0,05 = 0,005 + 0,006 + 0,010 = 0,021
- P(noche | E) = ≈ 0,476
Aunque el turno de noche produce solo el 20 %, origina casi la mitad de los errores.
Recuerda
- «Al menos uno»: unión; «ninguno»: contrario de la unión.
- P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B).
- Independientes ⟺ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⟺ P(A | B) = P(A).
- Probabilidad total: sumar las ramas que llevan al suceso.
- Bayes: rama favorable entre probabilidad total.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.