En la ESO usaste el seno, el coseno y la tangente en triángulos rectángulos. Ahora los extiendes a cualquier ángulo gracias a la circunferencia goniométrica, aprendes a medir en radianes y a manejar las identidades y fórmulas que relacionan las razones entre sí.
Objetivos
- Pasar de grados a radianes y viceversa
- Definir las razones de cualquier ángulo en la circunferencia goniométrica
- Usar la relación fundamental para calcular unas razones a partir de otras
- Reducir un ángulo al primer cuadrante
- Aplicar las fórmulas del ángulo suma y del ángulo doble
1. Grados y radianes
Radián: Es el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. Una vuelta completa mide 2π rad.
180° = π rad ⟹ α (rad) = α (°) ·
| Grados | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianes | π |
2. Razones de cualquier ángulo
En la circunferencia goniométrica (centro en el origen y radio 1), el lado final de un ángulo α corta a la circunferencia en un punto P. Sus coordenadas son P = (cos α, sen α), y tg α = (si cos α ≠ 0).
| Cuadrante | sen α | cos α | tg α |
|---|---|---|---|
| I (0° a 90°) | + | + | + |
| II (90° a 180°) | + | − | − |
| III (180° a 270°) | − | − | + |
| IV (270° a 360°) | − | + | − |
| 30° | 45° | 60° | |
|---|---|---|---|
| sen | |||
| cos | |||
| tg | 1 | √3 |
3. Relaciones fundamentales
sen² α + cos² α = 1
1 + tg² α =
Sabiendo que sen α = y α está en el segundo cuadrante, halla cos α y tg α
- cos² α = 1 − = , luego cos α = ±
- En el segundo cuadrante el coseno es negativo: cos α = −
- tg α = : (−) = −
4. Reducción al primer cuadrante
- Suplementarios: sen (180° − α) = sen α; cos (180° − α) = −cos α.
- Diferencia de 180°: sen (180° + α) = −sen α; cos (180° + α) = −cos α.
- Opuestos: sen (−α) = −sen α; cos (−α) = cos α.
- Ángulos mayores de 360°: se restan vueltas completas.
Calcular sen 150°, cos 120° y cos 750°
- sen 150° = sen (180° − 30°) = sen 30° =
- cos 120° = cos (180° − 60°) = −cos 60° = −
- 750° = 2 · 360° + 30°, luego cos 750° = cos 30° =
5. Fórmulas de adición y del ángulo doble
sen (a ± b) = sen a · cos b ± cos a · sen b
cos (a ± b) = cos a · cos b ∓ sen a · sen b
sen 2a = 2 sen a · cos a
cos 2a = cos² a − sen² a
Calcular sen 75°
- sen 75° = sen (45° + 30°)
- = · + ·
- =
Recuerda
- π rad = 180°; el radián facilita calcular arcos: l = α · r.
- En la circunferencia goniométrica, P = (cos α, sen α).
- sen² α + cos² α = 1; el cuadrante fija los signos.
- Reducir al primer cuadrante con ángulos suplementarios, opuestos o que difieren en 180°.
- sen 2a = 2 sen a cos a y cos 2a = cos² a − sen² a.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.