Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos a partir de tres datos (con al menos un lado). Con las razones trigonométricas resuelves los triángulos rectángulos; con los teoremas del seno y del coseno, cualquier triángulo. Así se calculan alturas inaccesibles, distancias entre barcos o anchos de ríos.
Objetivos
- Resolver triángulos rectángulos con razones trigonométricas
- Aplicar el teorema del seno y reconocer el caso ambiguo
- Aplicar el teorema del coseno para hallar un lado o un ángulo
- Calcular el área de un triángulo con trigonometría
- Resolver problemas de alturas y distancias
1. Triángulos rectángulos
sen α =
cos α =
tg α =
Altura de un árbol
La sombra de un árbol mide 12 m cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo.
- tg 40° =
- h = 12 · tg 40° ≈ 12 · 0,8391
- h ≈ 10,07 m
2. Teorema del seno
= = = 2R
A = 30°, B = 45°, b = 10. Halla a
- =
- a =
- a ≈ 7,07
3. Teorema del coseno
a² = b² + c² − 2bc · cos A
b = 5, c = 8, A = 60°. Halla a
- a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos 60°
- a² = 89 − 40 = 49
- a = 7
Lados 3, 5 y 7. Halla el ángulo mayor
- El ángulo mayor se opone al lado mayor (7).
- cos C = = = −0,5
- C = 120°
4. Área y estrategia de resolución
Área = · b · c · sen A
Fórmula de Herón: Área = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), con s =
| Datos | Herramienta |
|---|---|
| Dos ángulos y un lado | Tercer ángulo (suman 180°) y teorema del seno |
| Dos lados y el ángulo comprendido | Teorema del coseno para el tercer lado |
| Tres lados | Teorema del coseno para los ángulos |
| Dos lados y un ángulo no comprendido | Teorema del seno (caso ambiguo) |
Recuerda
- Triángulo rectángulo: seno, coseno y tangente directamente.
- Teorema del seno: = = .
- Teorema del coseno: a² = b² + c² − 2bc cos A (generaliza Pitágoras).
- Área = b c sen A.
- Al lado mayor se opone el ángulo mayor; los ángulos suman 180°.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.