Muchos problemas tienen dos incógnitas relacionadas por dos condiciones: cuántos adultos y cuántos niños, cuántas gallinas y cuántos conejos… Un sistema de ecuaciones reúne esas dos condiciones; su solución es el par de valores que cumple las dos a la vez.
Objetivos
- Comprobar si un par de valores es solución de un sistema
- Resolver sistemas por sustitución, igualación y reducción
- Clasificar un sistema según su número de soluciones
- Interpretar gráficamente un sistema como dos rectas
- Plantear y resolver problemas con sistemas
1. ¿Qué es un sistema?
Sistema de ecuaciones lineales: Dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, x e y, que deben cumplirse a la vez. La solución es un par (x, y) que verifica ambas ecuaciones.
¿Es (2, 1) solución de x + y = 3 y x − y = 1?
- Primera ecuación: 2 + 1 = 3 ✓
- Segunda ecuación: 2 − 1 = 1 ✓
Sí: (2, 1) cumple las dos ecuaciones.
2. Los tres métodos de resolución
| Método | Idea | Útil cuando… |
|---|---|---|
| Sustitución | Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra | Una incógnita tiene coeficiente 1 o −1 |
| Igualación | Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar | Las dos ecuaciones vienen ya despejadas (y = …) |
| Reducción | Multiplicar las ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos y sumar | Los coeficientes son opuestos o fáciles de igualar |
Sustitución: 2x + 3y = 12 y x − y = 1
- De la segunda: x = 1 + y
- Sustituimos en la primera: 2(1 + y) + 3y = 12 ⟹ 2 + 5y = 12 ⟹ y = 2
- x = 1 + 2 = 3
Solución: x = 3, y = 2
Reducción: 3x − 2y = 4 y 5x + 2y = 12
- Los coeficientes de y son opuestos: sumamos las ecuaciones
- 8x = 16 ⟹ x = 2
- En la primera: 6 − 2y = 4 ⟹ y = 1
Solución: x = 2, y = 1
Igualación: y = 3x − 1 e y = x + 5
- Igualamos: 3x − 1 = x + 5
- 2x = 6 ⟹ x = 3
- y = 3 + 5 = 8
Solución: x = 3, y = 8
3. Interpretación gráfica y tipos de sistemas
Cada ecuación lineal se representa con una recta. La solución del sistema es el punto de corte de las dos rectas.
| Tipo de sistema | Soluciones | Rectas | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Compatible determinado | Una única solución | Se cortan en un punto | x + y = 10; x − y = 4 |
| Compatible indeterminado | Infinitas soluciones | Coincidentes | x + y = 2; 2x + 2y = 4 |
| Incompatible | Ninguna solución | Paralelas | x + y = 2; x + y = 5 |
4. Problemas con sistemas
En una granja hay gallinas y conejos: 20 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos hay de cada?
- g: gallinas; c: conejos
- Cabezas: g + c = 20. Patas: 2g + 4c = 56
- Multiplicamos la primera por 2 y restamos: 2c = 16 ⟹ c = 8
- g = 20 − 8 = 12
12 gallinas y 8 conejos (comprobación: 24 + 32 = 56 patas).
Recuerda
- La solución de un sistema cumple las dos ecuaciones a la vez.
- Sustitución, igualación y reducción llevan a la misma solución.
- Gráficamente: rectas secantes (una solución), coincidentes (infinitas) o paralelas (ninguna).
- En un problema: definir las incógnitas, plantear dos ecuaciones y comprobar.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.