Muchos problemas tienen dos incógnitas relacionadas por dos condiciones: el precio de dos productos, las dimensiones de un rectángulo… Un sistema de ecuaciones reúne esas condiciones. En esta lección repasas los métodos de resolución, aprendes a clasificar los sistemas y resuelves sistemas no lineales, en los que aparece algún producto o cuadrado de las incógnitas.
Objetivos
- Resolver sistemas lineales por sustitución, igualación y reducción
- Clasificar un sistema según su número de soluciones e interpretarlo gráficamente
- Resolver sistemas no lineales sencillos
- Plantear y resolver problemas con sistemas
1. Métodos de resolución
- Sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra.
- Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan.
- Reducción: se multiplican las ecuaciones por números adecuados para que, al sumarlas, desaparezca una incógnita.
Resuelve por reducción: 2x + 3y = 12 ; 4x − 3y = 6
- Sumamos: 6x = 18 ⟹ x = 3
- Sustituimos: 2 · 3 + 3y = 12 ⟹ 3y = 6 ⟹ y = 2
x = 3, y = 2
2. Clasificación de sistemas lineales
| Tipo | Soluciones | Rectas |
|---|---|---|
| Compatible determinado | Una única solución | Se cortan en un punto |
| Compatible indeterminado | Infinitas soluciones | Coincidentes |
| Incompatible | Ninguna solución | Paralelas |
Clasifica: x + 2y = 3 ; 2x + 4y = 5
- Multiplicando la primera por 2: 2x + 4y = 6
- Pero la segunda dice 2x + 4y = 5: contradicción (6 ≠ 5).
Incompatible: rectas paralelas.
3. Sistemas no lineales
Si aparecen términos como x², y² o xy, el sistema es no lineal. Normalmente se resuelve por sustitución y se llega a una ecuación de segundo grado. Puede tener varias soluciones.
Resuelve: x + y = 7 ; xy = 12
- y = 7 − x
- x(7 − x) = 12 ⟹ x² − 7x + 12 = 0
- x = 3 o x = 4
- Si x = 3, y = 4; si x = 4, y = 3
Dos soluciones: (3, 4) y (4, 3)
4. Plantear problemas
- Elige las incógnitas y di qué representan.
- Traduce cada condición en una ecuación.
- Resuelve el sistema.
- Comprueba e interpreta la solución en el contexto.
En un aparcamiento hay 30 vehículos entre coches y motos, con 100 ruedas en total
- x coches, y motos: x + y = 30 ; 4x + 2y = 100
- De la primera, y = 30 − x: 4x + 60 − 2x = 100 ⟹ x = 20
- y = 10
20 coches y 10 motos
Recuerda
- Tres métodos: sustitución, igualación y reducción.
- Compatible determinado (rectas secantes), indeterminado (coincidentes), incompatible (paralelas).
- Sistemas no lineales: sustitución y ecuación de segundo grado.
- Comprueba la solución en todas las ecuaciones.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.