Repartir un presupuesto, mezclar productos con precios distintos o decidir qué combinaciones de producción son posibles: son problemas con varias incógnitas relacionadas por varias condiciones. Aprenderás a resolverlos con el método de Gauss y a representar las soluciones de un sistema de inecuaciones, base de la programación lineal de 2.º.
Objetivos
- Resolver y clasificar sistemas lineales de dos ecuaciones
- Aplicar el método de Gauss a sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas
- Resolver sistemas no lineales sencillos
- Representar la región solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas
- Plantear sistemas a partir de enunciados de contexto social o económico
1. Sistemas de dos ecuaciones: clasificación
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta. Resolver el sistema es buscar los puntos comunes. Se usan los métodos de sustitución, igualación o reducción.
| Tipo | Soluciones | Rectas |
|---|---|---|
| Compatible determinado (SCD) | Una | Secantes |
| Compatible indeterminado (SCI) | Infinitas | Coincidentes |
| Incompatible (SI) | Ninguna | Paralelas |
Clasificar 2x + 4y = 6 y x + 2y = 3
- La primera ecuación es el doble de la segunda
- Son la misma recta: SCI
- Soluciones: x = 3 − 2λ, y = λ, con λ ∈ ℝ
2. Método de Gauss
Consiste en transformar el sistema en otro equivalente escalonado (cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior) combinando ecuaciones, y resolver de abajo arriba.
x + y + z = 6 ; x − y + z = 2 ; 2x + y − z = 1
- E2 → E1 − E2: 2y = 4 ⟹ y = 2
- E3 → 2E1 − E3: y + 3z = 11 ⟹ 2 + 3z = 11 ⟹ z = 3
- En E1: x + 2 + 3 = 6 ⟹ x = 1
Solución única (1, 2, 3): sistema compatible determinado.
3. Sistemas no lineales
x² + y² = 25 ; x − y = 1
- Despejamos x = y + 1 y sustituimos: (y + 1)² + y² = 25
- 2y² + 2y − 24 = 0 ⟹ y² + y − 12 = 0 ⟹ y = 3 o y = −4
- Soluciones: (4, 3) y (−3, −4)
Suele funcionar despejar una incógnita en la ecuación más sencilla y sustituir en la otra. Comprueba siempre las soluciones.
4. Inecuaciones con dos incógnitas
Una inecuación ax + by ≤ c tiene como solución un semiplano: dibuja la recta ax + by = c y prueba un punto que no esté en ella (por ejemplo, (0, 0)). Si lo cumple, la solución es el semiplano que lo contiene.
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + y ≤ 4
- x ≥ 0 e y ≥ 0: primer cuadrante
- (0, 0) cumple x + y ≤ 4: semiplano por debajo de la recta
- Región solución: el triángulo de vértices (0, 0), (4, 0) y (0, 4)
Recuerda
- Un sistema puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
- Gauss: escalonar el sistema y resolver de abajo arriba.
- 0 = k (k ≠ 0) en el escalonado: incompatible; una ecuación 0 = 0: puede haber infinitas soluciones.
- No lineales: despejar y sustituir, y comprobar.
- Una inecuación lineal con dos incógnitas define un semiplano; un sistema, la intersección de semiplanos.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.