La trigonometría relaciona los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus lados. Gracias a ella se puede calcular la altura de un edificio sin subir a él o la anchura de un río sin cruzarlo. En 4.º de ESO aprendes las razones trigonométricas, sus relaciones y cómo usarlas para resolver triángulos.
Objetivos
- Pasar de grados a radianes y al revés
- Calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo
- Usar la relación fundamental sen²α + cos²α = 1 y tg α = sen α ÷ cos α
- Conocer el signo de las razones en cada cuadrante y resolver triángulos rectángulos
1. Grados y radianes
Un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud igual al radio. Una vuelta completa mide 360° = 2π rad.
180° = π rad
| Grados | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|
| Radianes | π |
2. Razones de un ángulo agudo
En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo α:
sen α = ; cos α = ; tg α =
| 30° | 45° | 60° | |
|---|---|---|---|
| sen | |||
| cos | |||
| tg | 1 | √3 |
3. Relaciones fundamentales
sen²α + cos²α = 1 ; tg α =
α es agudo y sen α = 0,6. Calcula cos α y tg α.
- cos²α = 1 − 0,36 = 0,64
- cos α = 0,8 (positivo, porque α es agudo)
- tg α = = 0,75
4. La circunferencia goniométrica
En una circunferencia de radio 1 centrada en el origen, un ángulo α determina un punto P(cos α, sen α). Así se definen las razones de cualquier ángulo.
| Cuadrante | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| I (0° a 90°) | + | + | + |
| II (90° a 180°) | + | − | − |
| III (180° a 270°) | − | − | + |
| IV (270° a 360°) | − | + | − |
5. Resolver triángulos rectángulos
Desde 20 m de la base de una torre se ve su punto más alto con un ángulo de 60°. ¿Qué altura tiene?
- Conocemos el cateto contiguo (20 m) y buscamos el opuesto h: usamos la tangente.
- tg 60° = ⟹ h = 20 · √3
- h ≈ 34,64 m
La torre mide unos 34,6 m.
Recuerda
- 180° = π rad.
- sen = opuesto ÷ hipotenusa; cos = contiguo ÷ hipotenusa; tg = opuesto ÷ contiguo.
- sen²α + cos²α = 1 y tg α = sen α ÷ cos α.
- Signos por cuadrantes: I todo +, II solo sen +, III solo tg +, IV solo cos +.
¡Ahora te toca a ti!
Comprueba que lo has entendido con los ejercicios y repasa con el resumen.